50 Ejemplos De Operaciones Con Números Complejos

Las operaciones con números complejos, son el elemento necesario para completar la constitución de este conjunto numérico en un cuerpo algebraico.

La construcción axiomática del conjunto de los números complejos se fue desarrollando con el avance de la matemática, la física y posteriormente la electrónica y se concretó después de tres siglos al ser representados por puntos o vectores en el plano numérico de Gauss.

Operaciones Con Números Complejos

fig. 1 Plano numérico de Gauss

 

Operaciones con números complejos como un par de la forma (a; b)

Operaciones con números complejos-1

Propiedades de la adición

Asociativa

La adición es una operación entre dos elementos para obtener su suma, si se tienen más de dos elementos uno los puede agrupar de cualquier manera seleccionando primero dos de ellos y al resultado se le suma otro elemento y así hasta culminar los elementos que se querían sumar.

Propiedades de la adición asociativa

Conmutativa

El orden en que se suman dos elementos es indistinto y se obtendrán siempre los mismos resultados.

Propiedades de la adición conmutativa

Neutro

Propiedades de la adición neutro

Multiplicación

Propiedades de la adición multiplicacion

Propiedades de la multiplicación

Asociativa

La multiplicación es una operación entre dos elementos para obtener su producto, si se tienen más de dos elementos uno los puede agrupar de cualquier manera seleccionando primero dos de ellos y al resultado se le multiplica otro elemento y así hasta culminar los elementos que se querían multiplicar.

Propiedades de la multiplicacion asociativa

Conmutativa

El orden en que se multiplican dos elementos es indistinto y se obtendrán siempre los mismos resultados. De ahí el dicho de que “El orden de los factores no altera el producto

Propiedades de la multiplicacion conmutativa

Propiedades de la multiplicacion

Ejemplos:

Propiedades de la multiplicacion-1

División

division

Consideremos el par (a; 0) correspondiente al número real a. Pues bien con él podremos realizar sin ningún problema las operaciones de adición

(a; 0) + (b; 0) = a + b

(a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0)

donde a + b ∈ R

Igual para la multiplicación y la división.

(a; 0) ▪ (b; 0) = a b

(a; 0) ▪ (b; 0) = (a b; 0)

(a; 0) ÷ (b; 0) = a/b

(a; 0) ÷ (b; 0) = (a/b; o)

donde (a/b) ∈ R

Visto así se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de pares de la forma (a; 0) y el conjunto de los números reales.

Tomemos ahora el par (0; 1) y con la operación de multiplicación definida tenemos:

(0; 1) ▪ (0; 1) = (0 – 1; 0 + 0) = (- 1; 0)

Si definimos la unidad imaginaria i = (0; 1), tenemos que:

ii = – 1

Por tanto, el número complejo de la forma (a; b) lo podemos escribir:

(a; b) = (a; 0) + (b; 0) ▪ (0; 1) = a + bi

Operaciones con números complejos como un vector de la forma z = a + bi

numero complejo de la forma a + bi

fig. 2 numero complejo de la forma a + bi

Adición

Sea a, b, c y d ∈ R

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos:

adicion

Propiedades de la adición

    Asociativa

Operaciones con números complejos como un vector

Operaciones con números complejos como un vector-1

Propiedades de la multiplicación

Asociativa:

Propiedades de la multiplicación

Propiedades de la multiplicación-1

Propiedades de la multiplicación-2

Propiedades de la multiplicación-3

Solo nos falta definir la potenciación y radicación de los números complejos, para ello trabajaremos la representación geométrica de los mismos.

Operaciones co números complejos en forma trigonométrica z = r cis a

Operaciones co números complejos en forma trigonométrica

fig. 3 numero complejo de la forma r cis a

Multiplicación

Operaciones co números complejos en forma trigonométrica

Operaciones co números complejos en forma trigonométrica

División

Operaciones co números complejos en forma trigonométrica

Ejemplos:

Operaciones co números complejos en forma trigonométrica

Potenciación

Como la multiplicación de números complejos es asociativa podemos introducir la noción de potencia de un número complejo.

Definamos w como el resultado de multiplicar n veces el número complejo z.

w = z ▪ z ▪ z ▪ z ▪…▪ z

n veces

w es la n-ésima potencia del número complejo z

w = z^n

Si , usando la fórmula de Moivre, tenemos que:

z^n = r^n (cos⁡nα + i sin⁡nα )

Potenciacion

Potencias de i

Potenciacion

Cada vez que aumenta el exponente de i, cuatro unidades se repite el valor de la potencia

calcular la potencia

Radicación

ejemplos radicacion

raíz cuarta de 16 cis 60°

fig. 4 raíz cuarta de 16 cis 60°

 

ejemplos radicacion

raíz tercera de 64 cis 120°

fig. 5 raíz tercera de 64 cis 120°

 

ejemplos radicacion

raíz tercera de 32 cis 90°

fig. 6 raíz tercera de 32 cis 90°

Ejercicios:

Ejercicios

Hallar

Hallar

 

Con las operaciones con números complejos completamos los ejemplos de todos los conjuntos numéricos Naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q), Reales (R) y Complejos (C),

 

Ángel Míguez Álvarez