Una desigualdad factorizable es una desigualdad que puede ser escrita como el producto de dos o más expresiones, y se resuelve encontrando los valores de la variable que hacen que cada una de las expresiones sea mayor o menor que cero.

• Por ejemplo, la desigualdad (x-3)(x+2) > 0 es una desigualdad factorizable. Para resolverla, podemos seguir los siguientes pasos:

1. Encontrar los puntos donde cada una de las expresiones se hace igual a cero. Estos puntos se llaman ceros de la función:

(x-3)(x+2) = 0

x = 3 o x = -2

2. Utilizar los ceros de la función para dividir el plano en tres intervalos: x < -2, -2 < x < 3 y x > 3.
3. Probar un punto en cada intervalo para determinar si la expresión es mayor o menor que cero en ese intervalo. Por ejemplo, podemos probar x = -3, x = 0 y x = 4.

Para x = -3, (x-3)(x+2) = (-6)(-1) = 6, que es mayor que cero.

Para x = 0, (x-3)(x+2) = (-3)(2) = -6, que es menor que cero.

Para x = 4, (x-3)(x+2) = (1)(6) = 6, que es mayor que cero.

4. Escribir la solución final, que es el conjunto de valores de la variable que hacen que la expresión sea mayor que cero. En este caso, la solución es x < -2 o x > 3.

Las desigualdades factorizables son comunes en la matemática y en la física, y se utilizan para modelar situaciones en las que una cantidad es mayor o menor que otra cantidad.

• Por ejemplo, la desigualdad (x-3)(x+2) > 0 podría representar una situación en la que el área de un rectángulo es mayor que cero.

Explicación sencilla

Las desigualdades factorizables son un concepto importante en matemáticas que se aplican en muchos campos, desde la física hasta las finanzas. En esencia, una desigualdad factorizable es una desigualdad que se puede escribir como el producto de dos o más expresiones.

• Por ejemplo, una desigualdad factorizable común es la siguiente: (x-2)(x+3) > 0. Esta desigualdad se puede resolver mediante la identificación de los puntos críticos (donde cada factor se hace cero) y la comprobación de los signos de los factores en las diferentes regiones. En este caso, la solución es x < -3 o x > 2.

Las desigualdades factorizables se pueden simplificar mediante la factorización. Al factorizar una desigualdad, podemos identificar los puntos críticos y las regiones donde la desigualdad es verdadera.

Ejemplos de desigualdad factorizable

Ejemplos de desigualdad factorizable resueltos

1. (x-1)(x+2) < 0 => -2 < x < 1
2. (x+3)(x-4) > 0 => x < -3 o x > 4
3. (2x-1)(x+4) ≤ 0 => x ≤ 1/2 o x ≥ -4
4. (3-x)(x-5) ≥ 0 => x ≤ 3 o x ≥ 5
5. (x-2)(x+6) < 0 => -6 < x < 2
6. (x+1)(x+7) > 0 => x < -7 o x > -1
7. (2x+3)(x-8) ≤ 0 => x ≤ -3/2 o x ≥ 8
8. (5-x)(x-9) ≥ 0 => x ≤ 5 o x ≥ 9
9. (x-3)(x+10) < 0 => -10 < x < 3
10. (x+2)(x+11) > 0 => x < -11 o x > -2
11. (3x-1)(x-12) ≤ 0 => x ≤ 1/3 o x ≥ 12
12. (4-x)(x-13) ≥ 0 => x ≤ 4 o x ≥ 13
13. (x-4)(x+14) < 0 => -14 < x < 4
14. (x+3)(x+15) > 0 => x < -15 o x > -3
15. (2x+1)(x-16) ≤ 0 => x ≤ -1/2 o x ≥ 16
16. (6-x)(x-17) ≥ 0 => x ≤ 6 o x ≥ 17
17. (x-5)(x+18) < 0 => -18 < x < 5
18. (x+4)(x+19) > 0 => x < -19 o x > -4
19. (3x-2)(x-20) ≤ 0 => x ≤ 2/3 o x ≥ 20
20. (7-x)(x-21) ≥ 0 => x ≤ 7 o x ≥ 21

Propiedades de las desigualdades factorizables

Las desigualdades factorizables tienen varias propiedades que se pueden utilizar para resolverlas de manera más eficiente. Algunas de estas propiedades son:

• Propiedad de la multiplicación: Si el producto de dos factores es menor que cero, entonces uno de los factores es negativo y el otro es positivo. Esta propiedad se utiliza para determinar los intervalos en los que los factores son positivos o negativos.
• Propiedad de la suma: Si la suma de dos números es menor que cero, entonces al menos uno de ellos es negativo. Esta propiedad se utiliza para determinar los intervalos en los que la suma de los factores es menor que cero.
• Propiedad de la igualdad: Si el producto de dos factores es igual a cero, entonces al menos uno de los factores es igual a cero. Esta propiedad se utiliza para encontrar los valores de la variable que hacen que uno de los factores sea igual a cero.
• Propiedad de la reflexión: Si se invierten los signos de los factores de una desigualdad factorizable, se obtiene una desigualdad con la misma solución pero con los intervalos de positividad y negatividad intercambiados. Esta propiedad se utiliza para resolver desigualdades que no están en la forma factorizada.
• Propiedad de la simetría: Si se tiene una desigualdad factorizable en la forma (x-a)(x-b) < 0, donde a y b son números reales, entonces la solución es simétrica respecto al punto medio de los valores a y b. En otras palabras, si se encuentra una solución x1, entonces la solución simétrica respecto al punto medio es x2 = a + b – x1. Esta propiedad se utiliza para encontrar la solución completa de la desigualdad factorizable.