El determinante de una matriz cuadrada es una función que le asigna a dicha matriz un número.

Notación: para designar una matriz usaremos letras mayúsculas y los valores numéricos encerrados en un corchete. El determinante de una matriz lo apuntaremos con unas barras.

Ejemplo:

¿Cuándo podemos calcular el determinante de una matriz?

Solo se pueden calcular el determinante de una matriz cuadrada, es decir una matriz de dimensión n x n y de rango n.

Menor Complementario

El menor complementario de una matriz es el arreglo o el elemento que resulta de escoger un elemento de dicha matriz y eliminar su fila y su columna.

Ejemplos:

• Hallar el menor complementario de una matriz 2 x 2

• Hallar el menor complementario de una matriz 3 x 3

• Hallar el menor complementario de una matriz 4 x 4

¿Cómo se calcula un determinante de una matriz cuadrada?

Regla de Laplace

• Si la matriz es 1 x 1

Ejemplo:

• Si la matriz es 2 x 2

Ejemplos:

• Si la matriz es 3 x 3

Ejemplos:

Regla de Sarrus

Se amplía la matriz cuadrada a la que se desea calcular el determinante repitiendo las dos primeras columnas

Ejemplo:

Propiedades de los determinantes de una matriz

1. Si una matriz tiene una fila o una columna que se puede expresar como combinación lineal de las restantes, entonces su determinante es cero. Ejemplo:
2. El determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Ejemplo: 

   

3. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices multiplicadas. Ejemplo: 

   

4. El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz transpuesta. Ejemplo:
   

    

5. El determinante de la matriz inversa es igual al inverso del determinante de la matriz. Ejemplo:

Ejercicios:

Calcule el determinante de las siguientes matrices: