25 Ejemplos de líneas y puntos notables de un Triangulo

Un triángulo es una figura geométrica que se forma con tres segmentos de recta que cumpla con la condición de que la suma de dos cualesquiera de ellas es mayor que el tercero, llamada la desigualdad triangular.

Ejemplos:

  • Dados los segmentos:

Segmentos desiguales

Fig. 1 segmentos desiguales a > b > c

no cumple desigualdad triangular b + c menor que a

Fig. 2  no cumple desigualdad triangular b + c < a

 

Por tanto, pese a tener tres segmentos, no podemos formar con ellos un triángulo.

  • Dados los segmentos:

3 segmentos desiguales d mayor que f y f mayor que e

Fig. 3 segmentos desiguales d > f > e

i cumple desigualdad triangular d + e mayor que f, d + f mayor que e y f + e mayor que d

Fig. 4  si cumple desigualdad triangular d + e > f,  d + f > e,  f + e > d

 

Por tanto, al cumplir con la desigualdad triangular, estos tres segmentos, pueden formar un triángulo.

Rectas Notables de un triángulo

La ceviana

La ceviana en un triángulo, es cualquier segmento de recta que une uno de sus vértices con un punto en el lado opuesto o en una prolongación del lado opuesto.

Ejemplos:

 

Ceviana interior de un triángulo Ceviana interior de un triángulo 2 Ceviana exterior de un triángulo

Fig. 5 ceviana interior

Fig. 6 ceviana interior

Fig. 7 ceviana exterior

 

La mediana

Es una ceviana que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las medianas de un triángulo cortan al triángulo en dos triángulos de igual área.

Ejemplo:

Mediana de un triángulo

Fig. 8 mediana

 

La bisectriz

Es una ceviana que biseca o divide en dos ángulos iguales el ángulo de un vértice del triángulo.

Ejemplo:

Bisectriz de un triángulo

Fig. 9 bisectriz

 

La altura

Es una ceviana perpendicular al lado opuesto al vértice del triángulo, puede ser interior o exterior al triángulo.

Ejemplos:

 

Altura exterior de un triángulo Altura interior de un triángulo

Fig. 10 altura exterior

Fig. 11 altura interior

 

La mediatriz

Es una recta que pasa por el punto medio de un lado del triángulo y es perpendicular a ella.

Ejemplo:

Mediatriz de un triángulo

Fig. 12 mediatriz

 

Puntos Notables de un triángulo

El circuncentro

Es el punto donde se encuentran las tres mediatrices de un triángulo.

Ejemplo:

Circuncentro de un triángulo

Fig. 13 circuncentro

 

Este punto de intersección de las mediatrices se denomina circuncentro ya que equidista de los tres vértices del triángulo y sirve de centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Ejemplo:

Circunferencia circunscrita

Fig. 14 circunferencia circunscrita

 

El baricentro

Es el punto donde se encuentran las tres medianas de un triángulo.

Ejemplo:

Baricentro de un triángulo

Fig. 15 baricentro

El baricentro corta a todas las medianas en una relación 2:1. Si trazamos un segmento que una los puntos medios de cada lado del triángulo se forma el triángulo mediano que divide al triángulo original en cuatro triángulos de igual área.

Ejemplo:

Triángulo mediano

Fig. 16 triángulo mediano

 

El ortocentro

Es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.

Ejemplo:

Ortocentro de un triángulo

Fig. 17 ortocentro

El incentro

Es el punto donde se cortan las tres bisectrices de los vértices del triángulo.

Ejemplo:

Incentro de un triángulo

Fig. 18 incentro

El incentro equidista de los lados del triángulo, por lo que se puede trazar una circunferencia interior al triángulo, una circunferencia inscrita, con centro en este punto y resultará tangente a los tres lados del triángulo.

Este punto también es considerado el centro de gravedad del triángulo.

Ejemplo:

Circunferencia inscrita de un triángulo

Fig. 19 circunferencia inscrita

 

La recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo cualquiera.

Esto demuestra que la posición de estos tres puntos notables del triángulo son colineales.

En 1 765 se realizó este descubrimiento, el cual se le debe al matemático suizo Leonard Euler.

Adicionalmente, como curiosidad, se estableció que la distancia del baricentro al circuncentro es la mitad de la distancia del baricentro al ortocentro.

Ejemplo:

Recta de Euler en un triángulo

Fig. 20 Recta de Euler

 

Ejercicios

  • Sea el triángulo definido por los siguientes vértices: A (2, 2); B (-2, 0); C (2, 4). Calcular las longitudes de las tres medianas.
  • Sea el triángulo definido por los siguientes vértices: A (5, 1); B (-2, 4); C (-1, -2). Calcular la ecuación las tres medianas.
  • Tomemos un triángulo que está definido por los siguientes vértices: A (3, 6); B (5, 2); C (1, -2). Calcular las ecuaciones de las tres alturas y determinar el ortocentro del triángulo.
  • Sea el triángulo que está definido por los siguientes vértices: A (1, -2); B (13, 3); C (1, 9). Calcular su circuncentro.
  • Tomemos un triángulo que tiene los siguientes vértices: A (2, 2); B (9, 7); C (11, -3). Calcular:
      • El baricentro.
      • El circuncentro.
      • El ortocentro.
  • Sea el triángulo de vértices: A (-1, -1); B (7, 5); C (2, 7). Calcular:
      • El baricentro.
      • Las ecuaciones de las tres alturas.
      • El ortocentro.
      • La recta de Euler.