20 Ejemplos de Determinante de una Matriz

El determinante de una matriz cuadrada es una función que le asigna a dicha matriz un número.

Notación: para designar una matriz usaremos letras mayúsculas y los valores numéricos encerrados en un corchete. El determinante de una matriz lo apuntaremos con unas barras.

Determinante de una matriz

Ejemplo:

Ejemplo de determinante de una matriz

¿Cuándo podemos calcular el determinante de una matriz?

Solo se pueden calcular el determinante de una matriz cuadrada, es decir una matriz de dimensión n x n y de rango n.

 

Menor Complementario

El menor complementario de una matriz es el arreglo o el elemento que resulta de escoger un elemento de dicha matriz y eliminar su fila y su columna.

 

Ejemplos:

  • Hallar el menor complementario de una matriz 2 x 2

Menor complementario de una matriz 2 x 2

  • Hallar el menor complementario de una matriz 3 x 3

Menor complementario de una matriz 3 x 3

 

  • Hallar el menor complementario de una matriz 4 x 4

Menor complementario de una matriz 4 x 4

¿Cómo se calcula un determinante de una matriz cuadrada?

Regla de Laplace

 

  • Si la matriz es 1 x 1

 

Ejemplo:

Calcular determinante de una matriz cuadrada 1x1

  • Si la matriz es 2 x 2

Calcular determinante de una matriz cuadrada 2x2

Ejemplos:

Calcular determinante de una matriz cuadrada 2x2 ejemplo 1

Calcular determinante de una matriz cuadrada 2x2 ejemplo 2

  • Si la matriz es 3 x 3

Calcular determinante de una matriz cuadrada 3x3

Ejemplos:

Calcular determinante de una matriz cuadrada 3x3 ejemplo 1

Calcular determinante de una matriz cuadrada 3x3 ejemplo 2

Regla de Sarrus

Se amplía la matriz cuadrada a la que se desea calcular el determinante repitiendo las dos primeras columnas

Regla de sarrus

Ejemplo:

Regla de sarrus ejemplo

 

Propiedades de los determinantes de una matriz

  1. Si una matriz tiene una fila o una columna que se puede expresar como combinación lineal de las restantes, entonces su determinante es cero. Ejemplo:Propiedades de los determinantes de una matriz ejemplo 1
  2. El determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Ejemplo: 

    Propiedades de los determinantes de una matriz ejemplo 2

  3. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices multiplicadas. Ejemplo: 

    Propiedades de los determinantes de una matriz ejemplo 3

  4. El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz transpuesta. Ejemplo:
    Propiedades de los determinantes de una matriz ejemplo 4

     

  5. El determinante de la matriz inversa es igual al inverso del determinante de la matriz. Ejemplo:Propiedades de los determinantes de una matriz ejemplo 5

Ejercicios:

Calcule el determinante de las siguientes matrices:

Calcular el determinante de las siguientes matrices