Si toda sucesión de Cauchy converge en un espacio métrico, se dice que el espacio es completo.
Ejemplo de espacio completo
Algunas definiciones matemáticas
Espacio Vectorial
Un espacio vectorial E está definido por un conjunto de vectores sobre un conjunto numérico (escalares), de forma que cualquier combinación lineal da un vector perteneciente a E.
Un espacio vectorial provisto de una norma es un Espacio Normado. Un espacio normado completo es un espacio de Banach.
En un espacio de Banach toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métrica d(x, y) = ‖ x – y ‖) en E tiene un límite en E.
La noción de espacio vectorial de dimensión infinita se extendió sobre otros cuerpos y a otros no reducibles a estos, se extendió también a funciones, los llamados espacios funcionales.
Espacio Métrico
El espacio E definido en los números reales R o en los números complejos C, usando como medida la distancia entre los elementos de E, d(x, y) = |x – y|, es un espacio métrico.
Sucesión de Cauchy
Se dice que una sucesión de números reales {xn} es de Cauchy si verifica la siguiente condición:
Intuitivamente, si sus elementos suficientemente “mayores” son tan próximos entre sí como se quiera. Es acotada y converge.
Más ejemplos de espacio completo
Un espacio completo, numérico, vectorial o funcional es parte de la amplia gama de estudio del análisis matemático.
Ángel Míguez Álvarez
