Ejemplos de Ecuaciones con fracciones algebraicas
Las ecuaciones con fracciones algebraicas son un tipo de ecuación que involucra fracciones con expresiones algebraicas en el numerador y/o el denominador. Estas ecuaciones pueden ser más complicadas de resolver que las ecuaciones con números enteros, ya que implican la manipulación de fracciones y la simplificación de expresiones algebraicas.
- Un ejemplo de ecuación con fracciones algebraicas sería: (2x + 1)/(x – 3) – (3x + 2)/(x + 2) = (x + 1)/(x – 3)(x + 2)
Ejemplos de ecuaciones con fracciones algebraicas
(x + 3)/(x – 2) + (2x – 1)/(x + 4) = (3x – 5)/(x2 + 2x – 8) |
(3/x) – (2/x + 1) = (1/2x) |
(y2 + 3y)/(y – 2) – (y – 1)/(y + 1) = (y2 – 1)/(y2 – 4) |
(2x + 3)/(x + 1) – (x + 1)/(2x + 3) = (5x – 4)/(x2 + 2x + 3) |
(4x – 1)/(x2 + 3x + 2) – (2x + 1)/(x2 + x – 6) = (x + 2)/(x2 – x- 12) |
(5/x) + (4/x + 2) = (3/2x) |
(2y – 1)/(y + 2) + (y + 3)/(y – 2) = (12 – y)/(y2 – 4) |
(x + 1)/(x2 – 1) + (2x – 3)/(x2 + x – 12) = (5x)/(x2 – 4) |
(3a – 1)/(a2 – 5a + 6) + (a + 2)/(a2 – 3a – 4) = (2a + 1)/(a2 – 2a – 8) |
(2x2 – x + 1)/(x3 + 6x2 + 11x + 6) + (x + 3)/(x2 + 7x + 10) = 1/(x + 1) |
(2x + 1)/(x2 – 1) – (3x – 4)/(x2 – 4x + 3) = (x + 2)/(x2 – x – 2) |
(4x – 1)/(x – 2) + (3x + 2)/(x + 1) = (7x + 5)/(x2 – x – 2) |
(x2 + 2x + 1)/(x + 2) – (2x2 + 3x – 1)/(x – 1) = (3x2 – 4)/(x2 – x – 2) |
(5x -2)/(x2 – 5x + 6) + (x + 4)/(x2 – 4x + 3) = (3x + 5)/(x2 – 6x + 9) |
(2x – 1)/(x2 + 3x + 2) + (x + 1)/(x2 – 5x + 6) = (3x)/(x2 – 2x – 3) |
(3y – 4)/(y2 + 3y + 2) – (2y + 1)/(y2 + 2y – 3) = (y – 2)/(y2 – y – 6) |
(3x2 + 7x – 1)/(x3 – 2x2 + x) – (2x + 1)/(x2 – 3x +2) = (5x – 3)/(x3 – 3x2 + 2x) |
(2x + 1)/(x2 – 4) + (x – 3)/(x2 – x – 12) = (3x)/(x2 – 1) |
(y2 + y)/(y – 1) – (2y – 3)/(y + 2) = (y + 1)/(y2 – y – 2) |
(x2 – 1)/(x + 1) + (2x – 3)/(x2 – 4) = (x – 2)/(x – 2)(x + 2) |
Tipos de ecuaciones con fracciones algebraicas
Ecuaciones lineales con fracciones algebraicas: Son ecuaciones que tienen fracciones algebraicas en las que tanto el numerador como el denominador son polinomios lineales (de grado 1).
- Por ejemplo: (3x + 2)/(2x – 1) = 4/(x + 3)
Ecuaciones cuadráticas con fracciones algebraicas: Son ecuaciones que tienen fracciones algebraicas en las que tanto el numerador como el denominador son polinomios cuadráticos (de grado 2).
- Por ejemplo: (2x2 + 3x + 1)/(x2 – 5x + 6) = 1/(x – 2)
Ecuaciones racionales con fracciones algebraicas: Son ecuaciones que tienen fracciones algebraicas en las que tanto el numerador como el denominador son polinomios de grado superior a 1.
- Por ejemplo: (x2 + 3)/(x3 + x2 – 2x – 2) = 1/(x – 1)
Ecuaciones irracionales con fracciones algebraicas: Son ecuaciones que tienen fracciones algebraicas en las que aparecen radicales en el numerador o en el denominador.
- Por ejemplo: (2 + √x)/(√x – 1) = (√x + 3)/(x – 1)
Ecuaciones con fracciones algebraicas complejas: Son ecuaciones que tienen fracciones algebraicas en las que aparecen términos complejos.
- Por ejemplo: (3x + 2i)/(2x – i) = 4/(x + 3 + 5i)
Paso a paso para resolver ecuaciones con fracciones algebraicas
Resolveremos la siguiente ecuación: (3x + 2)/(2x – 1) = 4/(x + 3)
Paso 1: Identificar los valores que hacen que el denominador de alguna de las fracciones sea igual a cero. En este caso, el denominador de la fracción (2x – 1) es igual a cero cuando x = 1/2, mientras que el denominador de la fracción (x + 3) es igual a cero cuando x = -3. Por lo tanto, debemos excluir estos valores de las soluciones de la ecuación.
Paso 2: Encontrar el denominador común de ambas fracciones. En este caso, el denominador común es (2x – 1)(x + 3), ya que cada denominador es un factor del denominador común. Entonces, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común
(3x + 2)/(2x – 1) * (x + 3)/(x + 3) = 4/(x + 3) * (2x – 1)/(2x – 1)
Esto nos deja:
(3x + 2)(x +3) = 4(2x – 1)
Paso 3: Desarrollar y simplificar los productos de los términos. En este caso, podemos multiplicar los términos utilizando la propiedad distributiva y simplificar los términos semejantes para obtener
3x2 + 11x + 6 = 8x – 4
Paso 4: Reorganizar la ecuación para que quede en la forma estándar (generalmente, con el término de mayor grado en el lado izquierdo y el término constante en el lado derecho). En este caso, podemos mover todos los términos al lado izquierdo para obtener:
3x2 + 3x – 10 = 0
Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática. En este caso, podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de la ecuación:
x = (-b ± √(b2 – 4ac))/(2a)
Donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0.
Para nuestra ecuación, a = 3, b = 3 y c = -10. Entonces, sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
x = (-3 ±√(32 – 4(3)(-10)))/(2(3))
x = (-3 ± √(9 + 120))/6
x = (-3 ± √129)/6
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son: x = (-3 + √129)/6 o x = (-3 – √129)/6
Paso 6: Verificar las soluciones obtenidas. Es importante verificar las soluciones obtenidas sustituyendo cada una en la ecuación original y comprobando que ambas partes sean iguales. En este caso, al verificar ambas soluciones, se comprueba que ambas son soluciones válidas y que satisfacen la ecuación original.
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