40 Ejemplos de factorización de polinomios

La factorización de polinomios es el proceso inverso al de hallar un polinomio como producto de binomios, trinomios, combinación de ellos o de polinomios cualesquiera.

Ejemplo:

Dado el trinomio 4x2 + 4x + 4x – 3  expresarlo como producto de binomios

4x2 + 4x + 4x – 3 = (2x + 3) (2x – 1)

Factorización de Diferencia de Cuadrados

Una diferencia de cuadrados a2 – b2 es el resultado del producto notable: Suma por su Diferencia (a +b) (a – b)

Ejemplos:

9 – 25b2 =32 – (5b)2 = (3 – 5b) ▪ (3 + 5b)
4a2 – 16b2 = (2a)2 – (4b)2 = (2a + 4b) ▪ (2a – 4b)
x2 – y2 = (x +y) (x – y)
x2 – 4y2 =x2 – (2y)2 = (x – 2y) ▪ (x + 2y)
25m2 – 9n2 = (5m)2 – (3n)2 = (5m – 3n) ▪ (5m + 3n)

¿Cómo factorizar una Diferencia de Cuadrados?

  1. Expresar cada monomio cuadrático como una potencia de dos.
  2. Construir los dos binomios que representan la suma por su diferencia.

Ejemplos:

  • 16 – 49x2

16 = (4)2
49x2 = (7x)2

Por tanto, 16 – 49x2 = (4 + 7x) (4 – 7x)

  • 2a2 – 9x2

2a2 = (√2 a)2
9x2 = (3x)2

Por tanto, 2a2 – 9x2 = (√2 a – 3x) (√2 a + 3x)

  • m6 – 16n4

m6 = (m3 )2
16n4 = (4n2 )2

Por tanto, m6 – 16n4 = (m3 + 4n2 ) (m3 – 4n2 )

  • 2x – 9x8

2x = (√2x )2
9x8 = (3x4 )2

Por tanto, 2x – 9x8 = (√2x – 3x4 ) (√2x + 3x4 )

  • 9m2 n4 – 4m4 n2

9m2 n4 = (3mn2 )2
4m4 n2 = (2m2 n)2

Por tanto, 9m2 n4 – 4m4 n2 = (3mn2 + 2m2 n) (3mn2 – 2m2 n)

Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto a2 – 2ab + b2 es el resultado del producto notable: Binomio al Cuadrado (a – b)2

Ejemplos:

  • (- 2m3 – 2n2 )2 = 4m6 + 6m3 n2 + 4n4
  • (3y – 4)2 = 9y2 – 24y + 16
  • (– 8a – 2b3 )2 = 64a2 + 32ab3 + 4b6
  • (3 – b)2 = 9 – 6b + b2
  • (6x – 2y)2 = 36x2 – 24xy + 4y2

¿Cómo factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto?

Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de la forma (a )2 ±2 (ab ) + (b )2

  1. Dos monomios cuadrados perfectos y
  2. Un tercer monomio que es el doble producto de la raíz cuadrada de los monomios cuadrados perfectos.

Factorización Cuadrado Perfecto

Si se cumplen estas condiciones, la factorización es la raíz cuadrada del primer monomio cuadrado perfecto, más o menos el segundo monomio cuadrado perfecto elevados al cuadrado.

Ejemplos:

  • 16x2 + 40x + 25

16x2 = (4x)2
25 = (5)2
40x = 2 (4x) (5)
(4x + 5)2

Por tanto la factorización es: 16x2 + 40x + 25 = (4x + 5)2

  • 9n2 – 24n + 16

9n2 = (3n)2
16 = (4)2
24n = 2 (3n) (4)
(3n – 4)2

Por tanto, la factorización es: 16x2 + 40x + 25 = (4x + 5)2

Factorización Completación de Cuadrados

Cuando el tercer monomio no es el doble producto de la raíz cuadrada de los monomios cuadrados perfectos, el procedimiento para factorizar el trinomio se denomina, completación de cuadrados.

Veamos un Trinomio de la forma: a2 x2n ± bxn + c, es un trinomio que la variable del primer término es de grado par (cuadrático) y el segundo término es de la mitad del grado del primer término.

Ejemplos:

  • x2 + 5x + 1
  • x2 – 4x + 11
  • 4x2 – 4x + 8
  • 9x2 + 18x + 12

Procedimiento para hacer la Completación de Cuadrados:

A. Trinomio de la forma a2 x2n ± bxn + c con el coeficiente de mayor grado a = 1

x2n ± bxn + c

  1. Se selecciona el valor absoluto del coeficiente del segundo término b, aunque este coeficiente sea negativo siempre se tomará positivo.
  2. Se divide el coeficiente del segundo término entre 2 y se eleva al cuadrado.
  3. Suma y resta este coeficiente al trinomio dado.
  4. Se obtiene un Trinomio Cuadrado Perfecto más un coeficiente.
  5. Se factoriza como se hace con un Trinomio Cuadrado Perfecto.

Ejemplos:

  • x2 + 5x + 1

(5⁄2)2 = 25⁄4
x2 + 5x + 1 = x2 + 5x + 25⁄4 – 25⁄4 + 1
(x2 + 5x + 25⁄4) – 25⁄4 + 1
(x2 + 5x + 25⁄4) – 21⁄4
(x + 5⁄2)2 – 21⁄4

Por tanto, la factorización es: x2 + 5x + 1 = (x + 5⁄2)2 – 21⁄4

  • x2 – 4x + 11

(4⁄2)2 = 4
x2 – 4x + 11 = x2 – 4x + 4 – 4 + 1
(x2 – 4x + 4) – 4 + 1
(x2 – 4x + 4) – 3
(x – 2)2 – 3

Por tanto, la factorización es: x2 – 4x + 11 = (x – 2)2 – 3

 

B. Trinomio de la forma a2 x2n ± bxn + c con el coeficiente de mayor grado a ≠ 1

  1. Se multiplica y divide el trinomio por el valor del coeficiente de grado mayor.
  2. Se selecciona el valor absoluto del coeficiente del segundo término b, aunque este coeficiente sea negativo siempre se tomará positivo.
  3. Se divide el coeficiente del segundo término entre 2 y se eleva al cuadrado.
  4. Suma y resta este coeficiente al trinomio dado.
  5. Se obtiene un Trinomio Cuadrado Perfecto más un coeficiente.
  6. Se factoriza como se hace con un Trinomio Cuadrado Perfecto.

Ejemplos:

  • 4x2 – 4x + 8

4 ▪ (4⁄4 x2 – 4⁄4 x + 8/4)
4 ▪ (x2 – x + 2)
(1⁄2)2 = 1⁄4
4 ▪ (x2 – x + 8) = 4 ▪ (x2 – x + 1⁄4 – 1⁄4+ 2)
4 ▪ ((x2 – x + 1⁄4) + 7⁄4)
((4x2 – 4x + 1) + 7)
(2x – 1)2 + 7

Por tanto, la factorización es: 4x2 – 4x + 8 = (2x – 1)2 + 7

  • 9x2 + 18x + 12

9 ▪ (9⁄9 x2 + 18⁄9 x + 12⁄9)
9 ▪ (x2 + 2x + 4⁄3)
(2⁄2)2 = 1
9 ▪ (x2 + 2x + 4⁄3) = 9 ▪ (x2 + 2x + 1 – 1+ 4⁄3)
9 ▪ ((x2 + 2x + 1) + 1⁄3)
((9x2 + 18x + 9) + 3)
(3x + 3)2 + 3

Por tanto, la factorización es: 9x2 + 18x + 12 = (3x + 3)2 + 3

Ejercicios:

  1. – 2x2 + 8x – 3
  2. y2 – 6y + 12
  3. – 3x2 – 8x + 3
  4. 2x2 – 3x + 1
  5. 3n2 + 5n + 1
  6. 2x2 + 5x + 1
  7. 4a2 – 4a + 8
  8. y8 – 9z4
  9. 16 – b2
  10. 9m2 n4 – 4m4 n2
  11. 16x2 – 1
  12. 9a2 – b2
  13. 9m10 – 4n2
  14. 9x4 – 64y2