Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre constante. Esta diferencia constante se denomina «razón» y se suele representar con la letra «d».

La progresión aritmética se puede representar de la siguiente manera:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …

Donde «a» es el primer término de la secuencia y «d» es la razón.

• Por ejemplo, considera la secuencia de números:

2, 5, 8, 11, 14, …

En este caso, el primer término «a» es 2 y la razón «d» es 3, ya que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es siempre 3. La secuencia continúa sumando 3 a cada término.

Para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética, se utiliza la siguiente fórmula:

an = a + (n – 1) * d

Donde «an» es el enésimo término, «a» es el primer término, «n» es el número de términos en la secuencia y «d» es la razón.

La suma de los primeros «n» términos de una progresión aritmética se puede calcular utilizando la fórmula de la suma de una progresión aritmética:

Sn = n * (a + an) / 2

Donde «Sn» es la suma de los primeros «n» términos, «n» es el número de términos, «a» es el primer término y «an» es el enésimo término de la secuencia.

¿Qué es una progresión aritmética? Explicación sencilla

Imagina que tienes una hilera de bloques de construcción, y cada bloque tiene un número. Los números en los bloques van aumentando de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres, o de cualquier otro número. Por ejemplo, si los números aumentan de dos en dos, podrías tener bloques como estos:

2, 4, 6, 8, 10, …

Eso es una progresión aritmética. Es simplemente una forma de decir que los números en los bloques siguen un patrón que se repite, y la diferencia entre cada par de bloques consecutivos es siempre la misma.

Entonces, si te preguntan cuál sería el siguiente bloque en la hilera, solo tienes que sumarle la misma cantidad al último número que tienes. En nuestro ejemplo, sumaríamos 2 al último número, que es 10, y obtendríamos 12 como el siguiente bloque en la hilera.

Las progresiones aritméticas son útiles en matemáticas y en la vida real para modelar situaciones en las que una cantidad cambia a un ritmo constante, como el pago de intereses, la depreciación de un vehículo o el crecimiento de una población.

Ejemplos de Progresiones Aritméticas

1. 3, 6, 9, 12, 15, … Razón: 3 (Cada número aumenta en 3)
2. 10, 15, 20, 25, 30, … Razón: 5 (Cada número aumenta en 5)
3. 50, 45, 40, 35, 30, … Razón: -5 (Cada número disminuye en 5)
4. 100, 95, 90, 85, 80, … Razón: -5 (Cada número disminuye en 5)
5. 2, 4, 6, 8, 10, … Razón: 2 (Cada número aumenta en 2)
6. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Razón: 1 (Cada número aumenta en 1)
7. 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, …  Razón: 3 (Cada número aumenta en 3)
8. ¾ , 1 ½, 2 ¼, 3, 3 ¾, 4 ½, 5 ¼ …  Razón: 0.75 (Cada número aumenta en 0.75)
9. 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1, – 3, – 7, – 11  Razón: -4 (Cada número aumenta en -4)

Término General de una Progresión Aritmética

El término general de una progresión aritmética es una fórmula que nos permite encontrar el valor de cualquier término en la secuencia sin tener que calcular todos los términos anteriores. La fórmula para el término general de una progresión aritmética se representa como:

an = a + (n – 1) * d

Donde:

• an es el enésimo término de la progresión aritmética (el término que queremos encontrar)
• a es el primer término de la secuencia
• n es la posición del término en la secuencia (por ejemplo, n = 3 para el tercer término)
• d es la razón (la diferencia constante entre dos términos consecutivos)

Usando esta fórmula, podemos encontrar el valor de cualquier término en una progresión aritmética si conocemos el primer término, la razón y la posición del término que queremos encontrar.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente progresión aritmética:

5, 9, 13, 17, 21, …

El primer término (a) es 5, y la razón (d) es 4. Si queremos encontrar el valor del séptimo término (n = 7) en esta secuencia, podemos usar la fórmula del término general:

a7 = a + (n – 1) * d a7 = 5 + (7 – 1) * 4 a7 = 5 + 6 * 4 a7 = 5 + 24 a7 = 29

Entonces, el séptimo término de esta progresión aritmética es 29.

Ejercicios de progresiones aritméticas (p. a.) Explicados y resueltos

• Ejercicio 1: Encuentra el décimo término de la progresión aritmética: 7, 12, 17, 22, …

Explicación: El primer término (a) es 7 y la razón (d) es 5 (la diferencia entre dos términos consecutivos). Queremos encontrar el décimo término (n = 10).

Usamos la fórmula del término general: a10 = a + (n – 1) * d a10 = 7 + (10 – 1) * 5 a10 = 7 + 9 * 5 a10 = 7 + 45 a10 = 52

Resultado: El décimo término es 52.

• Ejercicio 2: Encuentra el quinto término de la progresión aritmética: 3, -1, -5, -9, …

Explicación: El primer término (a) es 3 y la razón (d) es -4 (la diferencia entre dos términos consecutivos). Queremos encontrar el quinto término (n = 5).

Usamos la fórmula del término general: a5 = a + (n – 1) * d a5 = 3 + (5 – 1) * (-4) a5 = 3 + 4 * (-4) a5 = 3 – 16 a5 = -13

Resultado: El quinto término es -13.

• Ejercicio 3: Encuentra el octavo término de la progresión aritmética: 100, 95, 90, 85, …

Explicación: El primer término (a) es 100 y la razón (d) es -5 (la diferencia entre dos términos consecutivos). Queremos encontrar el octavo término (n = 8).

Usamos la fórmula del término general: a8 = a + (n – 1) * d a8 = 100 + (8 – 1) * (-5) a8 = 100 + 7 * (-5) a8 = 100 – 35 a8 = 65

Resultado: El octavo término es 65.

Estos ejercicios demuestran cómo aplicar la fórmula del término general de una progresión aritmética para encontrar el valor de un término específico en la secuencia.

En la vida real se pueden conseguir varios ejemplos de fenómenos, actividades, hechos que se comportan como una progresión aritmética, recorridos por parques y carreteras, ahorrar dinero, ganancias o pérdidas.