Ejemplos propiedad asociativa
La propiedad asociativa es como una regla especial en matemáticas que nos dice que podemos mover los paréntesis en una suma o multiplicación sin cambiar el resultado. Es como si estuviéramos agrupando a nuestros amigos en diferentes combinaciones, pero todos siguen siendo los mismos amigos al final.
Ejemplo con suma:
Imagina que tienes 3 manzanas, 4 peras y 2 plátanos. Si primero sumas las manzanas y las peras y luego sumas los plátanos, tendrás la misma cantidad de frutas que si primero sumas las peras y los plátanos y luego sumas las manzanas.
(3 manzanas + 4 peras) + 2 plátanos = 3 manzanas + (4 peras + 2 plátanos)
Ejemplo con multiplicación:
Imagina que tienes 2 cajas de galletas, y cada caja tiene 3 paquetes, y cada paquete tiene 4 galletas. Si primero multiplicamos las cajas por los paquetes y luego por las galletas, tendremos la misma cantidad de galletas que si primero multiplicamos los paquetes por las galletas y luego por las cajas.
(2 cajas * 3 paquetes) * 4 galletas = 2 cajas * (3 paquetes * 4 galletas)
Algo importante a tener en cuenta es que la propiedad asociativa NO se aplica a todas las operaciones matemáticas. Por ejemplo, no se cumple en la resta ni en la división. Es fundamental recordar cuándo se puede aplicar la propiedad asociativa y cuándo no, para evitar errores en los cálculos matemáticos.
Ejemplos de propiedad asociativa en la suma.
- (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
- (5 + 7) + 3 = 5 + (7 + 3) = 15
- (8 + 6) + 2 = 8 + (6 + 2) = 16
- (9 + 4) + 6 = 9 + (4 + 6) = 19
- (1 + 2) + 9 = 1 + (2 + 9) = 12
- (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) = 15
- (6 + 8) + 2 = 6 + (8 + 2) = 16
- (2 + 6) + 7 = 2 + (6 + 7) = 15
- (4 + 9) + 3 = 4 + (9 + 3) = 16
- (1 + 7) + 6 = 1 + (7 + 6) = 14
Ejemplos de propiedad asociativa en la multiplicación
- (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24
- (5 x 7) x 3 = 5 x (7 x 3) = 105
- (8 x 6) x 2 = 8 x (6 x 2) = 96
- (9 x 4) x 6 = 9 x (4 x 6) = 216
- (1 x 2) x 9 = 1 x (2 x 9) = 18
- (3 x 5) x 7 = 3 x (5 x 7) = 105
- (6 x 8) x 2 = 6 x (8 x 2) = 96
- (2 x 6) x 7 = 2 x (6 x 7) = 84
- (4 x 9) x 3 = 4 x (9 x 3) = 108
- (1 x 7) x 6 = 1 x (7 x 6) = 42
Ejemplos de la propiedad asociativa en la vida real
- Si tienes que comprar tres ingredientes para hacer una receta, digamos arroz, frijoles y salsa, puedes sumar los precios de los ingredientes de diferentes maneras. Por ejemplo, puedes sumar el arroz y los frijoles primero, y luego agregar el precio de la salsa, o puedes sumar el arroz y la salsa primero, y luego agregar el precio de los frijoles. En ambos casos, el resultado será el mismo.
- Si trabajas en una tienda y tienes que contar el dinero de la caja registradora, puedes sumar las monedas de diferentes maneras. Por ejemplo, puedes sumar todas las monedas de 5 centavos primero, luego las de 10 centavos y finalmente las de 25 centavos, o puedes sumar todas las monedas de 10 centavos primero, luego las de 5 centavos y finalmente las de 25 centavos. El resultado final será el mismo.
- Si tienes que repartir una cantidad de dinero entre varias personas, puedes sumar las cantidades que reciben cada persona de diferentes maneras. Por ejemplo, puedes dividir el dinero en dos partes iguales, y luego dividir cada parte en tres partes iguales, o puedes dividir el dinero en tres partes iguales primero, y luego dividir cada parte en dos partes iguales. En ambos casos, la cantidad de dinero que recibe cada persona será la misma.
- Si estás en el trabajo y tienes que hacer varias tareas que implican sumas, puedes agrupar las tareas de diferentes maneras. Por ejemplo, puedes sumar primero todas las cantidades que están relacionadas con el pago de los empleados, luego sumar todas las cantidades relacionadas con los suministros de oficina y finalmente sumar todas las cantidades relacionadas con los servicios de limpieza, o puedes agrupar las cantidades de manera diferente. En ambos casos, el resultado final será el mismo.
- Si tienes que hacer varias compras en diferentes tiendas y quieres saber cuánto dinero necesitas en total, puedes sumar el precio de las compras de diferentes maneras. Por ejemplo, puedes sumar el precio de las compras que vas a hacer en las tiendas de ropa primero, y luego agregar el precio de las compras que vas a hacer en las tiendas de comestibles, o puedes sumar el precio de todas las compras de todas las tiendas en el orden que quieras. El resultado final será el mismo.
¿Por qué la resta y la división no son asociativas?
Hay algunas propiedades matemáticas que no se pueden usar en todas las operaciones. En el caso de la asociativa, estas vendrían siendo la resta y la división. Ya que, al aplicarlas en estos casos, los resultados varían según los grupos asociados, haciendo la propiedad inválida.
Para comprender por qué la resta y la división no cumplen la regla asociativa, sigue los ejemplos a continuación:
Ejemplo 1
Indica si la siguiente expresión es verdadera.
(a – b) – c = a – (b – c)
Paso 1: ¿Qué necesitas demostrar?
(a – b) – c = a – (b – c)
Paso 2: Toma el lado izquierdo e intenta demostrar que es igual al lado derecho.
(a – b) – c
Paso 3: abre los paréntesis.
a – b – c
Paso 4: Combina b y c entre paréntesis.
a – (b + c)
Paso 5: ve si obtienes el resultado deseado.
(a – b) – c = a – (b + c)
Paso 6: Expresa tus hallazgos.
Ya que,
(a – b) – c = a – (b + c)
Por lo tanto,
(a – b) – c ≠ a – (b – c)
Entonces, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad asociativa.
Ejemplo 2
Indica si la siguiente expresión es verdadera.
(4a ÷ 2a) ÷ a = 4a ÷ (2a ÷ a)
Paso 1: ¿Qué necesitas demostrar?
(4a ÷ 2a) ÷ a = 4a ÷ (2a ÷ a)
Paso 2: toma el lado izquierdo.
(4a ÷ 2a) ÷ a
Paso 3: resuelve.
(4a ÷ 2a) ÷ a = (2) ÷ a = 2 / a
Paso 4: resuelve el lado derecho ahora.
4a ÷ (2 a ÷ a) = 4a ÷ (2) = 2a
Paso 5: Expresa tus hallazgos.
Ya que,
(4a ÷ 2a) ÷ a = 2 / a
y
4a ÷ (2a ÷ a) = 2a
Por lo tanto,
(4a ÷ 2a) ÷ a ≠ 4a ÷ (2a ÷ a)
Entonces, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad asociativa.
La propiedad asociativa es útil al sumar o multiplicar varios números. Al agrupar, podemos crear componentes más pequeños para resolver.
Esto hace que los cálculos de suma o multiplicación de varios números sean más fáciles y rápidos. Sin embargo, no podemos aplicar la regla a la resta o división. Cuando cambiamos la agrupación de números en resta o división, el resultado cambia, por lo tanto, esta propiedad no es aplicable.