50 Ejemplos de Secciones Cónicas

Las cónicas o secciones cónicas, son la intersección de un plano con un cono de revolución.Cono de revolución

fig. 1 cono de revolución

 

Un cono de revolución es una figura que se crea al hacer girar alrededor de un eje una figura, curva o recta cualquiera, denominada generatriz.

En el caso del cono de revolución se fija un eje, y tomamos una recta generatriz con cierta inclinación a respecto al eje. Al girar esa recta generatriz alrededor del eje se forma un cono de revolución.

Recta generatriz

fig. 2 eje – recta generatriz

 

El cono de revolución a diferencia del cono que nos enseñaron en la educación básica elemental son dos conos unidos por el vértice.

Al girar la recta generatriz alrededor del eje se genera un cuerpo tridimensional, en este caso un cono de revolución.

 

Secciones cónicas

 

Hipérbola

Cuando el plano que intersecta al cono de revolución es equidistante del eje, el plano secciona a ambos conos y genera las dos ramas de la hipérbola.

Hipérbola

fig. 3 hipérbola

 

Parábola

Cuando el plano que intersecta al cono de revolución tiene la misma inclinación respecto al eje que la recta generatriz, el plano secciona solo a un cono y genera la parábola.

Parábola

fig. 4 parábola

 

Elipse

Cuando el plano que intersecta al cono de revolución forma un ángulo agudo con respecto al eje, el plano secciona solo a un cono y genera una elipse.

Elipse

fig. 5 elipse

 

Circunferencia

Cuando el plano que intersecta al cono de revolución forma un ángulo recto (90°) con respecto al eje, el plano secciona solo a un cono y genera una circunferencia.

Circunferencia

fig. 6 circunferencia

 

Forma cartesiana de las ecuaciones de las secciones cónicas:

 

Hipérbola:

Hipérbola

Gráfica de una hipérbola

fig. 7 gráfica de una hipérbola

 

(x0, y0) Centro de la hipérbola

a distancia del centro de la hipérbola al vértice, ubicado en el eje real.

c distancia del centro de la hipérbola al foco.

Distancia del centro de la hiperbola al foco

Excentricidad es la que mide la apertura de las ramas de la hipérbola; en el caso de la hipérbola la excentricidad siempre será mayor que uno, e > 1

Excentricidad

 

Ejemplos:

Ejemplos de hipérbola

 

 

 

 

 

Parábola:

Fórmula de parábola

Gráfica de una parábola

fig. 8 gráfica de una parábola

 

(x0, y0) vértice de la parábola.

p la distancia del vértice al foco de la parábola.

Excentricidad  e = 1. Este elemento relaciona la distancia del foco al vértice con la distancia del vértice a la recta directriz de la parábola.

 

Ejemplos:

Ejemplos de parábola

Elipse:

Fórmula de elipse

gráfica de una elipse

fig. 9 gráfica de una elipse

 

(x0, y0) centro de la elipse.

a distancia del centro de la elipse al vértice del lado mayor, ubicado en el eje focal.

c distancia del centro de la elipse al foco.

b distancia del centro de la elipse al vértice del lado menor, ubicado en el eje vertical.

Distancia del centro de la elipse al foco

excentricidad es la que mide la redondez o achatamiento de la elipse; en el caso de la elipse la excentricidad siempre será menor que uno, , mientras el valor de la excentricidad sea menor, más achatada es la elipse y a medida que es mayor se aproxima más a la forma de una circunferencia.

Excentricidad

Ejemplos:

Ejemplos de elipse

Circunferencia:

Fórmula de circunferencia

Gráfica de una circunferencia

fig. 9 gráfica de una circunferencia

 

(x0, y0) centro de la circunferencia.

r es la distancia desde el centro de la circunferencia hasta cualquier punto de ésta.

La circunferencia tiene excentricidad cero, ya que no tiene factores de achatamiento o elongación.

 

Ejemplos:

Ejemplos de circunferencia

Ecuaciones generales de las secciones cónicas:

 

Hipérbola

Ecuación general 1

Ejemplo:

Ejemplo de hipérbola

Usaremos la completación de cuadrados para convertir esta ecuación general en una ecuación cartesiana.

Solución de ejemplo de hipérbola

Resultado de ejemplo de hipérbola

Parábola

Ecuación general

Ejemplo:

Ejemplo de conversión de ecuación general a ecuación cuadrática

Usaremos la completación de cuadrados para convertir esta ecuación general en una ecuación cartesiana.

Conversión de ecuación general a ecuación cuadrática

Resultado de conversión de ecuación general a ecuación cuadrática

Elipse

Ecuación general 2

Ejemplo:

Conversión de ecuación general a ecuación cuadrática 2

Usaremos la completación de cuadrados para convertir esta ecuación general en una ecuación cartesiana.

Completación de cuadrados para conversión de ecuación general a ecuación cuadrática

Resultado de completación de cuadrados para conversión de ecuación general a ecuación cuadrática

Circunferencia

Ecuación general 3

Ejemplo:

Conversión de ecuación general a ecuación cuadrática 3

Usaremos la completación de cuadrados para convertir esta ecuación general en una ecuación cartesiana.

Completación de cuadrados para conversión de ecuación general a ecuación cuadrática 2

Por tanto, es una circunferencia, con centro en (- 2, 3), y radio cuatro, r = 4

Definición de las secciones cónicas como lugar geométrico:

 

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias en valor absoluto a los focos de la misma es constante y mide el doble de la distancia del centro al vértice de la hipérbola (2 a).

La distancia entre sus focos siempre será mayor al doble de la distancia del centro al vértice de la hipérbola (2 a).[1]

 

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco y de la recta directriz de dicha parábola.

La distancia del foco a la recta directriz es el doble de la distancia del foco al vértice de la parábola (2 p).[2]

 

Elipse

La elipse es el conjunto de los puntos del plano cuya suma de distancias a los focos es constante y mide el doble de la distancia entre los vértices de la elipse (2 a).

La distancia entre sus focos siempre será menor al doble de la distancia del centro al vértice de la hipérbola (2 a).[3]

 

Circunferencia

La circunferencia es el conjunto de los puntos del plano cuya distancia a un punto llamado Centro es constante y esa distancia recibe el nombre de radio.[4]

 

Ejercicios:

Hallar el tipo de cónica, las coordenadas de centro o vértice y coordenadas de los focos o centro

Hallar las coordenadas de centro o vértice y focos o centro

Hallar las coordenadas de centro o vértice y focos o centro

Hallar las coordenadas de centro o vértice y focos o centro

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Las secciones cónicas han sido útiles para determinar las trayectorias de los planetas y de cometas, la construcción de antenas receptoras, el diseño de focos de iluminación.

 

[1] Ströbl, W. (1 977). Diccionarios Rioduero Matemática. España, Madrid: Ed. Rioduero p. 113

[2] Ströbl, W. (1 977). Diccionarios Rioduero Matemática. España, Madrid: Ed. Rioduero p. 154

[3] Ströbl, W. (1 977). Diccionarios Rioduero Matemática. España, Madrid: Ed. Rioduero p. 85

[4] Ströbl, W. (1 977). Diccionarios Rioduero Matemática. España, Madrid: Ed. Rioduero p. 46