20 Ejemplos de coordenadas en el plano y el espacio

Los sistemas de coordenadas son el enlace entre el álgebra y la geometría. Gracias a los sistemas de coordenadas se pueden realizar cálculos, mediciones y cualquier otra manipulación algebraica a objetos geométricos.

El sistema de coordenadas es la base de un sistema de referencia para los elementos componentes de un objeto geométrico.

La necesidad de un sistema de referencia se registró por vez primera 200 años antes de nuestra era, lo hizo Apolonio de Perga para estudiar las figuras cónicas.

Hiparco y Ptolomeo alrededor de 150 años antes de nuestra era, desarrollaron un sistema de coordenadas para la ubicación en la superficie de la Tierra, medidas de este a oeste y de norte a sur, lo que hoy denominamos longitud y latitud, respectivamente.

Las necesidades de la navegación, llevaron a la creación de la cartografía que se basó en los aportes de Hiparco y Ptolomeo. Otras necesidades llevaron al uso de elementos similares, como el reparto de tierras por parte de los gobernantes egipcios o los planificadores de las ciudades y arquitectura romana.

Pappus de Alejandría en el siglo IV de nuestra era, uso la idea del lugar geométrico que sirvió de base para los descubrimientos de Descartes.

A mediados del siglo XIV, el obispo Nicolás de Oresme presenta en un escrito el primer vestigio de una representación gráfica de funciones en un sistema de coordenadas sobre una línea, unidimensional.

Descartes, basado en el aporte de Viète, con el uso del álgebra simbólica, introdujo el uso de las letras x y y para determinar distancias, con el uso de la regla y el compás, que fueron la base de lo que luego se denominó sistema de coordenadas cartesianas.

Se señala a Descartes por sus aportes a la creación de la Geometría Analítica; la cual indicaba cómo generar ecuaciones a partir de la representación de curvas, líneas y otros objetos geométricos.

El abogado, matemático aficionado, Pierre de Fermat, en una época relativamente igual a la de Descartes, complementaría la misión de organizar la idea de una geometría analítica y el desarrollo del plano de coordenadas.

Su aporte fue determinar la posibilidad de expresar con ecuaciones algebraicas indeterminadas con dos variables a los lugares geométricos definidos por Apolonio.

Un estudio detallado de los aportes de estos matemáticos a la creación de lo que es hoy los sistemas de coordenadas para analizar figuras en el plano y en el espacio lo puedes hallar en el trabajo de grado titulado: “El plano cartesiano, una idea sencilla cuyo desarrollo llevó dos milenios” de Héctor David Pinto de la UPN de Colombia en el año 2012.

Ejemplos:

Ejemplos de coordenadas en el plano y el espacioHoy día, varios siglos después, se ha estandarizado el uso de sistemas de coordenadas para distintas ramas de las ciencias y técnicas. Mostraremos aquí lagunas de las más utilizadas.

Coordenadas cartesianas en el plano

Las coordenadas cartesianas son las que nos permiten ubicar cualquier punto ubicado en el plano de coordenadas rectangulares identificándolos con un par ordenado de números.

Ejemplo:

Representación de puntos en el plano

Elementos distintivos del Plano Cartesiano

  • Un eje denominado abscisas o eje x: es el eje horizontal y divide al Plano Cartesiano en dos partes, una superior y otra inferior
  • Un eje denominado ordenadas o eje y: es el eje vertical y divide el Plano Cartesiano en dos partes, una derecha y otra izquierda
  • Ambos ejes son perpendiculares.
  • Punto de Origen de los ejes de coordenadas cartesianas: es el punto donde coinciden los ceros de los ejes coordenados Ox y Oy
  • Ambos ejes usan el mismo sistema numérico para la escala de medición, discreto o continuo, , aunque puede variar los elementos que se miden, velocidad y tiempo, volumen y peso.
  • En algunos casos se usan escalas logarítmicas para obtener una representación más apropiada del fenómeno a representar.

Ejemplo:

Plano ortogonal o cartesiano

Forma de representación de las coordenadas

Se utiliza un par ordenado o 2-upla (secuencia de dos términos ordenados) donde el primer término representa al valor del punto en el plano respecto al eje de las abscisas o eje x en una proyección ortogonal a dicho eje.

El segundo término representa al valor del punto en el plano respecto al eje de las ordenadas o eje y en una proyección ortogonal a dicho eje.

Ejemplo:

Pares ordenados o 2-uplas

Escalas logarítmicas

Una gráfica con los puntos tomados de algún estudio o experimento es de gran utilidad porque con una mirada se puede tener una visión sobre la validez del estudio o experimento en relación a:

  • el número adecuado de datos representados,
  • el tamaño de algún intervalo de la variable independiente,
  • la distribución de los datos,
  • la magnitud del error cometido en el estudio o experimento,
  • la tendencia que siguen los puntos usados,
  • los posibles fenómenos o procesos involucrados en el estudio o experimento.
  • si la interpolación es adecuada,

A través de la gráfica se pueden comparar los resultados con las predicciones teóricas, si éstas existen

A veces tenemos que representar en un gráfico magnitudes con un rango de variación más amplio de lo habitual, en el que un sistema de coordenadas con escala aritmética no permite apreciar los detalles más relevantes de las magnitudes representadas.

Es por ello que en algunas ocasiones se usan las escalas logarítmicas. En uno de los ejes, escalas semilogarítmicas o en ambos ejes, escalas logarítmicas.

Escala logarítmica y semilogarítmicaEjemplo:

En épocas de lluvia la evaluación del comportamiento de los caudales de un río son tarea permanente de las organizaciones de Protección Civil para monitorear su comportamiento.

Veamos los valores del caudal de un río cualquiera:

Valores del caudal de un ríoSi lo representamos en una escala aritmética tradicional, tenemos:

Caudal del río en escala aritmética

Representémoslo en una escala logarítmica

Caudal del río en escala logarítmica

En la primera escala, la aritmética tradicional, no se puede apreciar las primeras cuatro valoraciones del caudal del río, quedan superpuestas. En la escala logarítmica se pueden apreciar todos los valores con sus datos reales.

Coordenadas polares

Usan la transformación de la representación de un vector en el plano real (R2) al plano complejo (C) .

Es decir, el vector representado como la suma de dos pares ordenados (a; 0) + (b; 0) = a + b; representado como número complejo z = a + bi, para luego representarlo en forma trigonométrica z = r cis a [1]

Pues bien, la representación de un punto en el plano cartesiano (x, y) lo convertimos al plano guassiano (r, q), así:

Conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas

Ejemplo:

Representación de coordenadas polares en el plano de Gauss

Los puntos en coordenadas polares se representan entonces con un par ordenado (módulo,  ángulo), (r, θ)

Forma de representación de las coordenadas

Se utiliza un par ordenado o 2-upla (secuencia de dos términos ordenados) donde el primer término representa al valor del módulo de la distancia entre los puntos  y ; y el segundo término representa al valor del ángulo que forma en el plano el módulo representado en la primera coordenada.

(x,y)

Ejemplos:

Forma de representación de las coordenadas

Coordenadas cartesianas en el espacio

Las coordenadas cartesianas son las que nos permiten ubicar cualquier punto ubicado en el espacio de coordenadas rectangulares identificándolos con una terna ordenada de números.

Ejemplos:

Coordenadas cartesianas en el espacioElementos distintivos del Espacio Cartesiano

  • Un eje x: es el eje inclinado y divide al Espacio Cartesiano en dos partes, una derecha y otra izquierda.
  • Un eje y: es el eje horizontal y divide el Espacio Cartesiano en dos partes, una adelante y otra atrás.
  • Un eje z: es el eje vertical y divide el Espacio Cartesiano en dos partes, una arriba y otra abajo.
  • Todos los ejes son perpendiculares dos a dos.
  • Punto de Origen de los ejes de coordenadas cartesianas: es el punto donde coinciden los ceros de los ejes coordenados Ox, Oy y Oz
  • Todos los ejes usan el mismo sistema numérico para la escala de medición, discreto o continuo, , aunque puede variar los elementos que se miden, alto ancho y profundidad, volumen, peso y tiempo.

Forma de representación de las coordenadas

Se utiliza la terna ordenada o 3-upla (secuencia de tres términos ordenados) donde el primer término representa al valor del punto en el espacio respecto al eje x en una proyección ortogonal a dicho eje.

El segundo término representa al valor del punto en el espacio respecto al eje y en una proyección ortogonal a dicho eje y el tercer término representa al valor del punto en el espacio respecto al eje z en una proyección ortogonal a dicho eje.

(x,y,z)

Ejemplo:

 

Ubicación de puntos en el espacio

Coordenadas cilíndricas

Usan la transformación de la representación de un vector en el espacio real , a través de la terna (r, θ, z)

Coordenadas cilíndricas

Donde para convertir las coordenadas x y y, en r  y θ se hace como en las coordenadas polares:

Conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas

Ejemplo:

Ubicación de puntos coordenadas cilíndricas

Forma de representación de las coordenadas

Se utiliza la terna ordenada o 3-upla (secuencia de tres términos ordenados) donde el primer término representa al valor del módulo de la distancia entre los puntos  y.

El segundo término representa al valor del ángulo que forma en el plano xy la proyección ortogonal del módulo representado en la primera coordenada sobre el plano xy y el tercer término representa al valor del punto en el espacio respecto al eje z en una proyección ortogonal a dicho eje.

(r, θ, z)

Ejemplos:

Representación de un punto en coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

Usan la transformación de la representación de un vector en el espacio real , a través de la terna

Coordenadas esféricas

Para la representación de todos los puntos del espacio se usa una esfera que tiene a los tres ejes (x, y, z) como ejes de simetría y su radio lo establece el valor del módulo de la distancia desde el punto (0, 0, 0) hasta el punto que se desea representar en el espacio.

Donde para convertir las coordenadas x, y y z, en ,  y  se procede así:

Conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas

 

Forma de representación de las coordenadas

Se utiliza la terna ordenada o 3-upla (secuencia de tres términos ordenados) donde el primer término representa al valor del módulo de la distancia entre los puntos  y .

El segundo término representa al valor del ángulo que forma en el plano xy la proyección ortogonal del módulo representado en la primera coordenada sobre el plano xy y el tercer término representa al valor del ángulo formado por el módulo representado en la primera coordenada y el eje z.

(ρ, θ, ϕ)

Ejemplo:

Representación del punto (ρ,θ,ϕ)

Ejemplo:

Representación de un punto en coordenadas esféricas