Usando dos líneas rectas (cuerdas, secantes, tangentes), no paralelas, se pueden definir distintos ángulos relacionados con una circunferencia.

Estos ángulos pueden estar definidos, fuera, dentro y sobre la circunferencia y producirán distintas relaciones entre las medidas de esos ángulos y las medidas de los arcos de circunferencia que esas rectas determinan.

Los ángulos definidos sobre la circunferencia los denominaremos ángulos inscritos o semi-inscritos. Los ángulos definidos dentro de la circunferencia los denominaremos ángulos formados por cuerdas. Cuando el vértice formado por las cuerdas coincide con el centro de la circunferencia, el ángulo lo denominaremos ángulo central.

Los ángulos cuyo vértice este fuera de la circunferencia los denominaremos ángulos formados por tangentes y secantes.

Ejemplos:

fig. 1 ángulo inscrito	fig. 2 ángulo interno	fig. 3 ángulo externo

Definiciones básicas

• Radio: es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella.
  

fig. 4 radio

• Cuerda: es el segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia.
  

fig. 5 cuerda

• Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
  

fig. 6 diámetro

• Tangente: es la recta que interseca a la circunferencia exactamente en un punto.
  

fig. 7 tangente

• Secante: es la recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.
  

fig. 8 secante

• Arco de circunferencia: es una parte continua de la circunferencia. Se escribe LM
  

fig. 9 arco LM

Medición de un arco en grados

• Arco menor: es un arco de circunferencia que está en el interior de un ángulo central. La medida del arco menor es la medida del ángulo central.

Ejemplo:

fig. 10 arco menor

• Arco mayor: es un arco de circunferencia que no está en el interior del ángulo central. La medida del arco mayor es 360° menos la medida del ángulo central.

Ejemplo:

fig. 11 arco mayor

Notación:

Medida del ángulo central = m ∠ AOB
Medida del arco menor = m AB
Medida del arco mayor = m ACB

Ejemplo:

fig. 12 medida arco menor	fig. 13 medida arco mayor

Medición de un arco respecto al ángulo que lo define

• Medida de ángulo inscrito: la medida de un ángulo inscrito es la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Ejemplo:

fig. 14 ángulo inscrito

m ∠ ACB = m AB/2
m ∠ ACB = 70°/2 = 35°
m ∠ ACB = 35°

• Corolario: un ángulo inscrito en media circunferencia mide 90°, dado que su arco mide 180°

• Medida de ángulo semi inscrito: la medida de un ángulo semi inscrito es la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Ejemplo:

fig. 15 ángulo semi inscrito

m ∠ ACB = m AC/2
m ∠ ACB = 200°/2 = 100°
m ∠ ACB = 100°

• Medida de ángulo formado por cuerdas: la medida de un ángulo formado por cuerdas es la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados.

Ejemplo:

fig. 16 ángulo formado por cuerdas

m ∠ AXB = m AB + m CD /2

m ∠ AXB = (40° + 20°)/2 = (60°)/2 = 30°
m ∠ AXB = 30°

• Medida de ángulo formado por tangentes y secantes: la medida de un ángulo formado por tangentes y secantes es la mitad de la diferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.

Ejemplos:

fig. 17 Ángulo formado por 2 tangentes	fig. 18  por una tangente y una secante	fig. 19 Ángulo formado por 2 secantes

Ejercicios:

• Hallar la medida del ángulo BCO

fig. 20 ¿m ∠ BCO?

• Sea m AOC = 230°

fig. 21 ¿m AC?

1. Hallar m ∠ AOB
2. Hallar m ∠ BOC
3. Hallar m ∠ AOC
4. Hallar m AC

• Hallar la medida de los ángulos del ∆ ABC

fig. 22 medida ángulos inscritos

• Hallar la medida de los arcos de circunferencia: m AC, m CB, m BA

fig. 23 triángulo inscrito

• Sean las medida de los arcos de circunferencia m AB = 20° y m CD = 30°. Hallar m ∠ CXD

fig. 24 ángulos internos

• Sean la medida del arco de circunferencia m DA = 100° y m ∠ AXD= 80°. Hallar m BC

fig. 25 ángulos internos

• Sean AC ⊥ BD, y las medidas de los arcos de circunferencia m AB = 80° y m BC ̂ = 20°. Hallar m CD y m DA
  

fig. 26 ángulos internos

• Sean las medidas de los arcos de circunferencia m AB = 140° y m BC = 90°. Hallar m ∠ BPC

fig. 27 ángulo externo