30 Ejemplos de Ángulos en la circunferencia

Usando dos líneas rectas (cuerdas, secantes, tangentes), no paralelas, se pueden definir distintos ángulos relacionados con una circunferencia.

Estos ángulos pueden estar definidos, fuera, dentro y sobre la circunferencia y producirán distintas relaciones entre las medidas de esos ángulos y las medidas de los arcos de circunferencia que esas rectas determinan.

Los ángulos definidos sobre la circunferencia los denominaremos ángulos inscritos o semi-inscritos. Los ángulos definidos dentro de la circunferencia los denominaremos ángulos formados por cuerdas. Cuando el vértice formado por las cuerdas coincide con el centro de la circunferencia, el ángulo lo denominaremos ángulo central.

Los ángulos cuyo vértice este fuera de la circunferencia los denominaremos ángulos formados por tangentes y secantes.

Ejemplos:

Ángulo inscrito de un círculo Ángulo interno de un círculo Ángulo externo

fig. 1 ángulo inscrito

fig. 2 ángulo interno

fig. 3 ángulo externo

Definiciones básicas

 

  • Radio: es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella.
    Radio de un círculo

fig. 4 radio

  • Cuerda: es el segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia.
    Cuerda de un círculo

fig. 5 cuerda

  • Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
    Diámetro de un círculo

fig. 6 diámetro

  • Tangente: es la recta que interseca a la circunferencia exactamente en un punto.
    Tangente de un círculo

fig. 7 tangente

  • Secante: es la recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.
    Secante de un círculo

fig. 8 secante

  • Arco de circunferencia: es una parte continua de la circunferencia. Se escribe LM
    Arco LM de un círculo

fig. 9 arco LM

Medición de un arco en grados

  • Arco menor: es un arco de circunferencia que está en el interior de un ángulo central. La medida del arco menor es la medida del ángulo central.

Ejemplo:

Arco menor de un círculo
fig. 10 arco menor

  • Arco mayor: es un arco de circunferencia que no está en el interior del ángulo central. La medida del arco mayor es 360° menos la medida del ángulo central.

Ejemplo:

Arco mayor de un círculo
fig. 11 arco mayor

Notación:

Medida del ángulo central = m ∠ AOB
Medida del arco menor = m AB
Medida del arco mayor = m ACB

Ejemplo:

Medida arco menor de un círculo Medida arco mayor de un círculo

fig. 12 medida arco menor

fig. 13 medida arco mayor

Medición de un arco respecto al ángulo que lo define

  • Medida de ángulo inscrito: la medida de un ángulo inscrito es la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Ejemplo:

Ángulo inscrito de un círculo
fig. 14 ángulo inscrito

m ∠ ACB = m AB/2
m ∠ ACB = 70°/2 = 35°
m ∠ ACB = 35°

  • Corolario: un ángulo inscrito en media circunferencia mide 90°, dado que su arco mide 180°

 

  • Medida de ángulo semi inscrito: la medida de un ángulo semi inscrito es la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Ejemplo:

Ángulo semi inscrito de un círculo
fig. 15 ángulo semi inscrito

m ∠ ACB = m AC/2
m ∠ ACB = 200°/2 = 100°
m ∠ ACB = 100°

  • Medida de ángulo formado por cuerdas: la medida de un ángulo formado por cuerdas es la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados.

Ejemplo:

Ángulo formado por cuerdas
fig. 16 ángulo formado por cuerdas

m ∠ AXB = m AB + m CD /2

m ∠ AXB = (40° + 20°)/2 = (60°)/2 = 30°
m ∠ AXB = 30°

  • Medida de ángulo formado por tangentes y secantes: la medida de un ángulo formado por tangentes y secantes es la mitad de la diferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.

Ejemplos:

Ángulo formado por 2 tangentes Ángulo formado por una tangente y una secante Ángulo formado por 2 secantes

fig. 17 Ángulo formado por 2 tangentes

fig. 18  por una tangente y una secante

fig. 19 Ángulo formado por 2 secantes

Medida de ángulo formado por tangentes y secantes

Ejercicios:

  • Hallar la medida del ángulo BCO

Hallar la medida del ángulo BCO

fig. 20 ¿m ∠ BCO?

  • Sea m AOC = 230°

Medida del ángulo AOC
fig. 21 ¿m AC?

  1. Hallar m ∠ AOB
  2. Hallar m ∠ BOC
  3. Hallar m ∠ AOC
  4. Hallar m AC

 

  • Hallar la medida de los ángulos del ∆ ABC

Medida ángulos inscritos
fig. 22 medida ángulos inscritos

  • Hallar la medida de los arcos de circunferencia: m AC, m CB, m BA

Triángulo inscrito
fig. 23 triángulo inscrito

 

  • Sean las medida de los arcos de circunferencia m AB = 20° y m CD = 30°. Hallar m ∠ CXD

Ángulos internos de un círculo
fig. 24 ángulos internos

 

  • Sean la medida del arco de circunferencia m DA = 100° y m ∠ AXD= 80°. Hallar m BC

Ángulos internos de un círculo 2
fig. 25 ángulos internos

  • Sean AC ⊥ BD, y las medidas de los arcos de circunferencia m AB = 80° y m BC ̂ = 20°. Hallar m CD y m DA
    Ángulos internos de un círculo 3

fig. 26 ángulos internos

  • Sean las medidas de los arcos de circunferencia m AB = 140° y m BC = 90°. Hallar m ∠ BPC

Ángulo externo de un círculo
fig. 27 ángulo externo