Ejemplos de exponente
Los exponentes son una forma de expresar una multiplicación repetida de un número por sí mismo. Se utilizan para simplificar la escritura de números enormes o muy pequeños. Un exponente se representa con un número pequeño que se ubica en la parte superior derecha de otro número, llamado la base.
- Por ejemplo, en la expresión 23, el número 3 es el exponente y 2 es la base. Esto significa que 2 se multiplica por sí mismo tres veces, de la siguiente manera:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
En este caso, 23 es igual a 8.
Un ejemplo de exponentes en la vida cotidiana es la notación científica, que se utiliza para representar números muy grandes o muy pequeños. En la notación científica, un número se escribe como un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10.
- Por ejemplo, el número 3.2 x 105 se lee como «tres punto dos por diez elevado a la quinta potencia» y representa el número 320000.
Es importante tener en cuenta que cuando se multiplican dos bases con el mismo exponente, se pueden simplificar utilizando las reglas de los exponentes.
- Por ejemplo, si tenemos la expresión 23 x 33, podemos simplificarla multiplicando las bases y manteniendo el exponente:
23 x 33 = (2 x 3)3 = 63 = 216
También es importante recordar que cuando se eleva una base a un exponente negativo, el resultado es el inverso de la base elevada al exponente positivo correspondiente.
- Por ejemplo: 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8
Por último, cuando se eleva una base a un exponente fraccionario (también conocido como raíz), se obtiene la raíz enésima de la base.
- Por ejemplo: 4(1/2) = √4 = 2
El exponente de una potencia se puede calcular a través del logaritmo. Así como la base de una potencia se calcula a través de una raíz.
Por tanto, el logaritmo es la operación que nos permite calcular el exponente de una potencia.
Explicación sencilla
Los exponentes son una forma de abreviar una multiplicación repetida de un número por sí mismo.
Por ejemplo, en 23, el número 3 significa que 2 se multiplica por sí mismo tres veces, es decir, 2 x 2 x 2, que es igual a 8.
Los exponentes se utilizan para hacer más fácil la escritura de números grandes o muy pequeños. Por ejemplo, la distancia entre la Tierra y el Sol es de 149,600,000 kilómetros. En notación científica, esto se escribe como 1.496 x 108 kilómetros.
Ejemplos de exponentes
| 2³ = 8 | 4(1/2) = √4 = 2 | 2(1/2) = √2 | 16(3/4) = (∜16)³ = 2³ = 8 |
| 3² = 9 | 8(1/3) = ∛8 = 2 | 3(2/3) = (∛3)² = 3 | 17(4/5) = ∜∜17⁴ = √17² = 17^(½) |
| 4⁴ = 256 | 27(2/3) = (∛27)² = 3² = 9 | 4(3/2) = (√4)³ = 8 | 5(2/5) = ∜∜5² = √5 |
| 5³ = 125 | 64(3/2) = (√64)³ = 8³ = 512 | 4(3/2) = (√4)³ | 6(3/2) = (√6)³ |
| 6² = 36 | 125(2/3) = (∛125)² = 5² = 25 | 7(4/3) = (∛7)⁴ | 13(1/4) = ∜13 |
| 7³ = 343 | 216(1/3) = ∛216 = 6 | 8(3/4) = ∜8³ = 4√2 | 14(3/5) = ∜∜14³ = √14² = 14^(½) |
| 8² = 64 | 343(1/3) = ∛343 = 7 | 9(2/3)= (∛9)² = 3² = 9 | 15(2/3) = (∛15)² |
| 9⁴ = 6561 | 512(1/4) = ∜512 = 4 | 10(1/3) = ∛10 | 16(3/4) = (∜16)³ = 2³ = 8 |
| 10³ = 1000 | 729(2/3) = (∛729)² = 9² = 81 | 11(3/2) = (√11)³ | 17(4/5) = ∜∜17⁴ = √17² = 17(1/2) |
| 11² = 121 | 1024(1/5) = ∜∜1024 = 2 | 12(2/5) = ∜∜12² = √√144 = 2√3 | 12³ = 1728 |
| 13² = 169 | 16807(1/5) = ∜16807 = 7 | 14(3/5) = ∜∜14³ = √14² = 14(1/2) | 1296(1/2) = √1296 = 36 |
¿Cómo deducir las Leyes de la potenciación?
Producto de potencias de igual base
Los productos de potencias de igual base son una operación matemática que se utiliza para simplificar expresiones algebraicas que contienen exponentes. Cuando dos o más potencias tienen la misma base, se pueden multiplicar juntas combinando sus exponentes.
- Por ejemplo, si tienes la expresión «2³ * 2⁴», que representa el producto de dos potencias con base 2, puedes simplificarla combinando los exponentes: 2³ * 2⁴ = (2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2 * 2) = 2(3/4) = 2⁷ = 128
En este caso, se han multiplicado las bases y sumado los exponentes para obtener una única potencia con la misma base.
Este proceso se puede aplicar a cualquier número de potencias con la misma base.
- Por ejemplo: 3² * 3³ * 3⁴ = (3 * 3) * (3 * 3 * 3) * (3 * 3 * 3 * 3) = 3(2+3+4) = 3⁹ = 19683
Al igual que en el ejemplo anterior, se han multiplicado las bases y sumado los exponentes para obtener una única potencia con la misma base.
División de potencias de igual base
La división de potencias de igual base es otra operación común con exponentes que se utiliza para simplificar expresiones algebraicas. Cuando se tienen dos potencias con la misma base, se pueden dividir entre sí combinando sus exponentes.
- Por ejemplo, si tienes la expresión «2⁵ / 2³», que representa la división de dos potencias con base 2, puedes simplificarla combinando los exponentes: 2⁵ / 2³ = (2 * 2 * 2 * 2 * 2) / (2 * 2 * 2) = 2(5-3) = 2² = 4
En este caso, se han dividido las bases y restado los exponentes para obtener una única potencia con la misma base.
Este proceso se puede aplicar a cualquier número de potencias con la misma base.
- Por ejemplo: 3⁷ / 3⁴ / 3² = (3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3) / (3 * 3 * 3 * 3) / (3 * 3) = 3(7-4-2) = 3¹ = 3
Al igual que en el ejemplo anterior, se han dividido las bases y restado los exponentes para obtener una única potencia con la misma base.
Potencia elevada a un exponente
Una potencia de una potencia es cuando un número se eleva a una potencia que a su vez se eleva a otra potencia. Esto significa que estamos multiplicando un número consigo mismo varias veces, y luego elevando ese resultado a otra potencia.
- Por ejemplo, si tenemos la expresión (2³)², esto significa que primero elevamos el número 2 al exponente 3, lo que nos da 8. Luego, tomamos ese resultado y lo elevamos a la potencia 2, lo que significa que multiplicamos 8 por sí mismo, y luego lo multiplicamos de nuevo. Entonces, (2³)² = 8² = 64.
Lo importante a tener en cuenta con las potencias de una potencia es que debemos resolver primero la potencia más interna antes de resolver la externa. Es decir, en el ejemplo anterior, primero resolvimos la potencia interior (2³) y luego tomamos ese resultado y lo elevamos a otra potencia. Si no seguimos este orden, podríamos llegar a una respuesta incorrecta.
Un número con exponente cero
Cualquier número elevado a cero es igual a uno. Esto significa que si tenemos un número y lo elevamos a cero, el resultado siempre será uno, no importa cuál sea el número.
- Por ejemplo, si tenemos la expresión 50, esto significa que estamos elevando el número 5 a la potencia cero. Según la regla de que cualquier número elevado a cero es igual a uno, el resultado de 50 es igual a 1.
Un número con exponente negativo
Cuando un número se eleva a un exponente negativo, en realidad estamos calculando el inverso multiplicativo del número elevado a la potencia positiva correspondiente.
- Por ejemplo, si tenemos la expresión 2-3, esto significa que estamos elevando el número 2 a la potencia negativa 3. En realidad, esto es igual a 1 dividido por 23, que es igual a 1/8. Por lo tanto, 2-3 es igual a 1/8.
Es importante tener en cuenta que cuando un número se eleva a un exponente negativo, siempre obtenemos un número decimal o una fracción. Esto es porque cuando elevamos un número a un exponente negativo, estamos dividiendo 1 por una potencia del número, y esto siempre produce un número menor que 1. También es importante tener en cuenta que el resultado de una potencia negativa depende de la base.
- Por ejemplo, si tenemos la expresión (-2)-2, esto significa que estamos elevando el número -2 a la potencia negativa 2. En este caso, el resultado es 1/4, porque (-2)-2 es igual a 1/(-2)2, que es igual a 1/4.
Un número con exponente fraccionario
Cuando elevamos un número a una fracción, estamos calculando la raíz enésima del número correspondiente. La fracción en el exponente representa el grado de la raíz que estamos tomando.
- Por ejemplo, si tenemos la expresión 4(1/2), esto significa que estamos elevando el número 4 a la potencia 1/2. La fracción 1/2 representa la raíz cuadrada, por lo que estamos tomando la raíz cuadrada de 4. El resultado es 2, porque la raíz cuadrada de 4 es 2.
- Otro ejemplo sería 8(1/3). En este caso, estamos elevando el número 8 a la potencia 1/3, lo que representa la raíz cúbica. El resultado es 2, porque la raíz cúbica de 8 es 2.
Cuando la fracción en el exponente es negativa, estamos calculando la potencia inversa del número correspondiente.
- Por ejemplo, si tenemos la expresión 2(-1/2), esto significa que estamos elevando el número 2 a la potencia negativa 1/2. En este caso, estamos calculando el inverso multiplicativo de la raíz cuadrada de 2, que es igual a 1/raíz cuadrada de 2. Este resultado puede ser simplificado a raíz cuadrada de 2 dividido por 2.