Ejemplos De Racionalización
La racionalización es un proceso que nos permite eliminar raíces cuadradas del denominador de una fracción, para simplificarla y hacerla más manejable.
En términos generales, la racionalización se puede hacer de dos formas:
- Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado de la raíz en el denominador. El conjugado de una raíz es otra raíz que tiene el mismo valor numérico, pero con signo opuesto.
- Simplificando la fracción y llevando la raíz cuadrada al numerador.
- El siguiente es un ejemplo para entender mejor cómo se hace la racionalización: Supongamos que tenemos la fracción 2 / √3. Esta fracción no está simplificada porque tiene una raíz cuadrada en el denominador. Para racionalizarla, debemos multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la raíz cuadrada de 3, que es √3. El conjugado de √3 es -√3, por lo que podemos multiplicar la fracción por (√3 / √3) para obtener:
2 / √3 x (√3 / √3) = 2√3 / 3
Esta es la fracción racionalizada, ya que hemos eliminado la raíz cuadrada del denominador.
- Otro ejemplo de racionalización sería si tenemos la fracción (5 + √2) / (3 – √2). Para racionalizarla, podemos multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la raíz cuadrada de 2, que en este caso es (3 + √2):
(5 + √2) / (3 – √2) x (3 + √2) / (3 + √2) = (15 + 8√2) / (7)
En este caso, hemos eliminado la raíz cuadrada del denominador y hemos simplificado la fracción resultante.
La racionalización es útil en algunas situaciones, pero no es necesario racionalizar todas las fracciones que contienen raíces cuadradas.
Explicación sencilla
La racionalización es un proceso matemático que nos permite simplificar fracciones que tienen una raíz cuadrada en el denominador. Para hacerlo, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una «ayuda» que se llama conjugado de la raíz cuadrada del denominador.
- Por ejemplo, si tenemos la fracción 2/√3, podemos racionalizarla multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado de √3, que es √3. Así, la fracción quedaría como:
2/√3 x √3/√3 = 2√3/3
Esto hace que la fracción sea más fácil de trabajar y manipular.
Ejemplos de racionalización resueltos
√2 / (1 + √2) = (√2 / (1 + √2)) x ((1 – √2) / (1 – √2)) = (√2 – 2) / (-1) = 2 – √2 |
5 / √3 = (5 / √3) x (√3 / √3) = 5√3 / 3 |
√6 / (√3 – √2) = (√6 / (√3 – √2)) x ((√3 + √2) / (√3 + √2)) = (√18 + √12) / (1) = √18 +√12 |
√3 – √2 / √3 + √2 = ((√3 – √2) / (√3 + √2)) x ((√3 – √2) / (√3 – √2)) = 1 – √6 / 1 = 1 – √6 |
√3 / (2 + √3) = (√3 / (2 + √3)) x ((2 – √3) / (2- √3)) = (2√3 – 3) / (-1) = 3 – 2√3 |
2 / (√5 – √3) = (2 / (√5 – √3)) x ((√5 + √3) / (√5 + √3)) = (2√5 + 2√3) / (2) = √5 + √3 |
√7 / (√5 + √2) = (√7 / (√5 + √2)) x ((√5 – √2) / (√5- √2)) = (√35 – √14) / (3) |
√6 + √2 / √6 – √2 = ((√6 + √2) / (√6 – √2)) x ((√6 + √2) / (√6 + √2)) = 4 + 2√3 / 4 |
√3 / (√3 + 1) = (√3 / (√3 + 1)) x ((√3 – 1) / (√3 – 1)) = (√3 – 1) |
3 / (√6 – √2) = (3 / (√6 – √2)) x ((√6+ √2) / (√6 + √2)) = 3(√6 + √2) / 4 |
1 / (2√2 + 3√3) = (1 / (2√2 + 3√3)) x ((2√2 – 3√3) / (2√2 – 3√3)) = (2√2 – 3√3) / (-19) |
√5 – 1 / √5 + 1 = ((√5 – 1) / (√5 + 1)) x ((√5 – 1) / (√5 – 1)) = (4 – 2√5) / 4 = 1 – √5 / 2 |
5 / (√7 – √3) = (5 / (√7 – √3)) x ((√7 + √3) / (√7 + √3)) = 5(√7 + √3) / 4 |
√10 / (3 – √10) = (√10 / (3 – √10)) x ((3 + √10) / (3 + √10)) = (3√10 + 10) / 7 |
√3 +√2 / (√3 – √2) = ((√3 + √2) / (√3 – √2)) x ((√3 + √2)/ (√3 + √2)) = 5 + 2√6 |
√7 + 3 / √7 – 3 = ((√7 + 3) / (√7 – 3)) x ((√7 + 3) / (√7 + 3)) = 4 + √7 |
√2 + √3 / √2 – √3 = ((√2 + √3) / (√2 – √3)) x ((√2 + √3) / (√2 + √3)) = 5 + 2√6 |
1 / (2 + √3) = (1 / (2 + √3)) x ((2 – √3) / (2 – √3)) = (2 – √3) / (-1) = √3 – 2 |
2√5 / (√5 + 1) = (2√5 / (√5 + 1)) x ((√5 – 1) / (√5 – 1)) = (3√5 – 5) |
√6 / (√2 + 1) = (√6 / (√2 + 1)) x ((√2 – 1) / (√2 – 1)) = (√6(√2 – 1)) / (1) = √6(√2 – 1) |
¿Cómo se ejecuta el proceso de racionalización?
Para lograr el proceso de racionalización se multiplican tanto el numerador como el denominador de la fracción original por una expresión adecuada que contenga la raíz que se quiere eliminar.
- Por ejemplo, considera la siguiente fracción:
(2 + √5) / (√5 – 1)
Para racionalizar el denominador de esta fracción, se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador por la expresión conjugada del denominador, que es (√5 + 1). Al hacer esto, se obtiene:
(2 + √5) x (√5 + 1) / (√5 – 1) x (√5 + 1)
Simplificando esta expresión, se tiene:
(2√5 + 2) / (5 – 1)
Que es lo mismo que:
(√5 + 1) / 2
En este ejemplo, se utilizó la multiplicación por la expresión conjugada del denominador para eliminar la raíz cuadrada del denominador y obtener una expresión algebraica racional en el denominador. La expresión conjugada se obtiene cambiando el signo de la raíz del denominador, es decir, en lugar de (√5 – 1), se utiliza (√5 + 1).
Al multiplicar tanto el numerador como el denominador por esta expresión, se eliminó la raíz cuadrada del denominador y se obtuvo una expresión algebraica racional en su lugar.