10 Ejemplos de Volumen y Áreas de Pirámides

El volumen y el área de una pirámide es el cálculo que se efectúa en un poliedro que cuenta con una base en forma de un polígono cualquiera y que el resto de sus caras son triángulos que tienen un vértice común denominado vértice de la pirámide.

Hay pirámides cuya base es un polígono regular o irregular, un polígono cóncavo o convexo, por tanto, hay infinitas pirámides.

 

Ejemplos:

Pirámide base triángulo regular Pirámide base cuadrada
fig. 1 pirámide base triángulo regular fig. 2 pirámide base cuadrada
Pirámide base triangular Pirámide base pentagonal cóncava
fig. 3 pirámide base triangular fig. 4 pirámide base pentagonal cóncava

 

Elementos componentes de toda pirámide:

Elementos de la pirámide

fig. 5 elementos de la pirámide

H = altura de la pirámide

h = altura del triángulo cara de la pirámide

 

Volumen de una pirámide:

Volumen de una pirámide

b = área de la base poligonal de la pirámide

H = altura de la pirámide

 

Ejemplos:

Pirámide base cuadrada

Base cuadrada de la pirámide

fig. 6 base cuadrada de la pirámide

Área de la base cuadrada de la pirámide

Pirámide base cuadrada altura 4 cm

fig. 7 pirámide base cuadrada altura 4 cm

 

Volumen de la pirámide de base cuadrada

Pirámide base triangular

Base triangular de la pirámide

fig. 8 base triangular de la pirámide

Área de la base triangular de la pirámide

Pirámide base triangular altura 4 cm

fig. 9 pirámide base triangular altura 4 cm

Volumen de la pirámide de base triangular

Pirámide base pentagonal cóncava

Base pentagonal cóncava de la pirámide

fig. 10 base pentagonal cóncava de la pirámide

 

Para calcular el área de este pentágono irregular cóncavo lo dividimos en tres triángulos, calculamos sus áreas y las sumamos para obtener el área de la base de esta pirámide.

 

Fórmula de Herón:

Usaremos la fórmula de Herón para calcular el área de estos tres triángulos.

Fórmula de Herón

A = área del triángulo abc

s = semi perímetro del triángulo abc

a = valor del lado a del triángulo abc

b = valor del lado b del triángulo abc

c = valor del lado c del triángulo abc

Áreas de la base pentagonal cóncava de la pirámide

fig. 11 áreas de la base pentagonal cóncava de la pirámide

Área 1 y 2 de la base pentagonal cóncava de la pirámide

Área 3 y área total de la base pentagonal cóncava de la pirámide

Pirámide base pentagonal cóncava altura 6 cm

fig. 9 pirámide base pentagonal cóncava altura 6 cm

Volumen de la pirámide de base pentagonal cóncava de altura 6 cm

Área de una pirámide:

El área de una pirámide es la suma del área de su base y las áreas de cada una de sus caras.

Área de una pirámide

Ejemplos:

Área del tetraedro

Pirámide base triangular regular

fig. 10 pirámide base triangular regular

El tetraedro es un poliedro de forma piramidal compuesto por cuatro triángulos equiláteros.

Por tanto, su área será el área del triángulo equilátero cuadruplicado.

Triángulo equilátero

fig. 11 triángulo equilátero

Área triángulo equilátero

fig. 12 área triángulo equilátero

Altura y área del triángulo equilátero

Área del tetaedro

Área de la pirámide base cuadrilátera

Pirámide base cuadrilátera

fig. 13 pirámide base cuadrilátera

 

Área base cuadrilátera

fig. 14 área base cuadrilátera

Área de la base cuadrilátera de la pirámide

Cara 1 de la pirámide de base 4 cm Cara 2 de la pirámide de base 3 cm
fig. 15 cara 1 de la pirámide de base 4 cm fig. 16 cara 2 de la pirámide de base 3 cm

 

Esta pirámide tiene dos caras formadas por triángulos de base 4 cm y dos caras formadas por triángulos de base 3 cm.

Áreas de las caras de la pirámide y longitudes de la base de las caras de la pirámide

Área de la pirámide base pentagonal irregular

Pirámide base pentagonal irregular

fig. 17 pirámide base pentagonal irregular

Área base pentagonal irregular

fig. 18 área base pentagonal irregular

 

Esta pirámide tiene cinco caras formadas por triángulos de base 2 cm (uno), 3,5 cm (dos) y 5 cm (dos).

 

Cara 1 de la pirámide de base 5 cm Cara 2 de la pirámide de base 3,5 cm Cara 3 de la pirámide de base 2 cm
fig. 19 cara 1 de la pirámide de base 5 cm fig. 20 cara 2 de la pirámide de base 3,5 cm fig. 21 cara 3 de la pirámide de base 2 cm

 

Determinante de Gauss

El determinante de Gauss permite calcular el área de cualquier polígono, asignándole coordenadas cartesianas a cada uno de sus vértices y numerándolos en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Numeración de los vértices del polígono

fig. 22 numeración de los vértices del polígono

Área de la base poligonal de la pirámide

Coordenadas de los vértices del polígono

fig. 23 coordenadas de los vértices del polígono

Área de la base de la pirámide pentagonal irregular

Áreas de la cara 1 y 2 de la pirámide y longitud de la base de las caras 1 y 2 de la pirámide

Área de la cara 3 de la pirámide y longitud de la base de la cara 3 de la pirámide

Área de la pirámide