Ejemplos de Números Primos

Los Números Primos son números naturales que solo se pueden dividir de manera exacta entre el número 1 y entre sí mismos. Te mostraremos Ejemplos de Números Primos y cómo determinar si un número natural es o no es primo.

Usos de los números primos

Los números primos tienen dos usos significativos:

  1. En criptografía y generación de claves secretas usados fundamentalmente en el mundo financiero y por los sistemas de inteligencia.
  2. En el sistema escolar para cálculos asociados a la aritmética en la educación básica y al álgebra abstracta en la educación universitaria.

¿Cómo sabemos si un número es primo?

Dependiendo del uso que se le dará al número en cuestión hay varias formas de saber si un número dado cualquiera es primo o no.

  1. En el ámbito universitario, financiero o militar se buscan números primos “sofisticados” o “nuevos” para ello matemáticos y/o programadores diseñan algoritmos altamente sofisticados que hacen uso de grandes capacidades de cálculo computarizado.

Para estas labores de cálculo se usan variados aportes de grandes matemáticos:

  • El pequeño teorema de Fermat, que dice así:

“Tenemos un número natural primo p y un número natural cualquiera a > 0, entonces ap – a es múltiplo de p, siempre y cuando el número p sea primo”.

Queremos verificar si el número 4 es primo y tomamos a=3

Usamos la fórmula propuesta por Fermat

Ejemplo

34 – 3 = 81 – 3 = 78

Como el número 78 no es múltiplo de 4, se concluye que el número 4 no es primo

La fórmula de Mersenne

“Tenemos que 2p – 1 siempre es un número primo, con tal de que p sea primo también”

Ejemplo

Hagamos dos verificaciones:

  • 23 – 1 = 8 – 1 = 7, como p = 3 es primo se verifica que 7 también lo es
  • 24 – 1 = 16 – 1 = 15, como p = 4 no es primo, se verifica que 15 tampoco lo es

Polinomio generador de números primos

El polinomio E(x) x2 + x +41 con x definido en el intervalo (0, 39) genera 40 número primos

Para x = 0 → E(0) = 41, que es un número primo

Para x = 39 → E(39) = 1601, que es primo

Para x = 40 → E(40) = 1681 = 412 , por tanto no es primo.

Varios de estos procedimientos se hacen imposibles para números grandes ya que requieren de algoritmos computacionales y capacidades computacionales de gran envergadura.

  1. En el ámbito escolar se suelen usar números pequeños implicados en cálculos con fracciones o con índices de raíces, por lo que se requiere de un instrumental matemático más fácil de manejar.

La criba de Eratóstenes

Es una tabla que puedes hacer en tu cuaderno de 10 filas y 10 columnasLa criba de Eratóstenes

Vamos a suprimir todos los números que no sean primos, con base en la definición de estos.

  • Comenzamos eliminando todos los números pares ya que son divisibles por 1, por 2 y por sí mismos. El único que se salva es el 2, que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo, por tanto es primo.
  • Ahora eliminamos todos los múltiplos de 3 que no están tachados, por la misma razón, son divisibles por 1, por 3 y por sí mismos.
  • Ahora eliminamos todos los múltiplos de 5 que no están tachados, ya que son divisibles por 1, por 5 y por sí mismos.
  • Ahora eliminamos todos los múltiplos de 7 que no están tachados, debido a que son divisibles por 1, por 7 y por sí mismos.

Así obtenemos los primeros 25 Números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97)

El método de representación multiplicativa por área

Dado un número cualquiera, si queremos saber si es primo o no, pues lo representamos en una tabla multiplicativa por área

Pues bien, si el número a analizar se puede representar en forma de un rectángulo cualquiera (más de una fila y más de una columna) no es un número primoEjemplos:

  • ¿Es el número 27 un número primo?Ejemplos de Números PrimosMétodo de representación multiplicativa por área N° 27

No, el 27 no es primo

  • ¿Es el número 7 un número primo?

Ejemplos de Números Primos Método de representación multiplicativa por área N° 7

No es posible representar al número 7 en forma de rectángulo, o es una fila o es una columna, por tanto el 7 es primo.

  • ¿Es el número 63 un número primo?Método de representación multiplicativa por área N° 63

No, el 63 no es primo, se puede representar por el rectángulo 9×7

  • ¿Es el número 77 un número primo?Método de representación multiplicativa por área N° 77

No, el 77 no es primo, se puede representar con el rectángulo 7×11

El artículo ha sido realizado por el profesor Licenciado en Matemáticas: Ángel Míguez Álvarez