Ejemplos de Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales son ecuaciones algebraicas que involucran raíces cuadradas u otras raíces de una o más variables desconocidas. Estas ecuaciones se resuelven encontrando un valor para la variable que haga que la expresión del radical sea igual a un número dado.
- Por ejemplo, la ecuación √(x+3) = 5 es una ecuación con un radical. Para resolverla, podemos seguir los siguientes pasos:
1. Elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado, para eliminar el radical:
(√(x+3))2 = 52
x + 3 = 25
2. Resolver para x:
x = 22
Por lo tanto, la solución para la ecuación √(x+3) = 5 es x = 22.
Las ecuaciones con radicales pueden ser más complicadas de resolver que las ecuaciones regulares, ya que involucran operaciones con raíces y pueden tener restricciones en las soluciones. Es necesario verificar las soluciones para asegurarse de que sean válidas, ya que algunas soluciones pueden ser extranas o no válidas debido a la presencia de radicales.
En algunos casos, las ecuaciones con radicales pueden tener múltiples soluciones, o ninguna solución en absoluto. Por ejemplo, la ecuación √(x-1) = -2 no tiene solución real, ya que una raíz cuadrada siempre produce un número no negativo.
Explicación sencilla
Las ecuaciones con radicales son aquellas que contienen raíces, como la raíz cuadrada (√) o la raíz cúbica (³√), en alguna de sus expresiones algebraicas. Estas ecuaciones pueden ser un poco más complicadas de resolver que las ecuaciones algebraicas regulares, ya que involucran la eliminación de las raíces y la simplificación de la expresión.
- Un ejemplo de una ecuación con radicales es: √(x + 2) + 2 = x
La siguiente es la la denominación de los elementos dentro de un radical:
Ejemplos de funciones con radicales
| √x = 5 | √(x + 3) = 7 | √(2x – 1) = 3 | √(x + 4) – √x = 1 |
| √(x + 5) = √x + 3 | √(3x – 2) + √(x – 1) = 3 | √(2x – 1) + 4 = 6 | √(3x + 2) = x – 1 |
| √(x – 2) + √(x + 3) = 3 | √(2x + 1) = x – 1 | ³√x = 4 | ³√(x + 3) = 5 |
| ³√(2x – 1) = 3 | ³√(x + 4) – ³√x = 1 | ³√(x + 5) = ³√x + 3 | ³√(3x – 2) + ³√(x – 1) = 4 |
| ³√(2x – 1) + 4 = 7 | ³√(3x + 2) = x – 2 | ³√(x – 2) + ³√(x + 3) = 4 | ³√(2x + 1) = x – 2 |
| ∛(x – 1) = 2 | ∛(x + 2) = 3 | ∛(3x – 2) = 1 | ∛(x + 1) – ∛(x – 1) = 1 |
| ∛(x + 2) + ∛(x – 3) = 3 | ∛(2x – 1) + 2 = 4 | ∛(3x + 2) = x – 3 | ∛(x – 2) + ∛(x + 3) = 2 |
| ∛(2x + 1) = x – 3 | √(x + 1) + ∛(x -2) = 4 | ∛(2x – 1) – √(x + 3) = 1 | ∛(x + 2) + √(x – 3) = 4 |
| √(x + 1) – ³√(x – 2) = 1 | ³√(x + 1) + √(x – 2) = 4 | ³√(2x – 1) – ∛(x + 3) = 1 | ³√(x + 2) + √(x + 3) = 5 |
| √(x + 4) – ∛(x – 1) = 2 | ∛(x + 2) + √(x – 2) = 4 | ∛(x – 1) – √(x + 2) = 1 | √(x + 3) + ∛(x – 2) = 5 |
| √(x + 2) + ∛(2x – 1) = 5 | ∛(x – 2) – √(x + 3) = 1 | √(x+5) – ∛(x – 2) = 1 | ∛(x + 1) + √(x – 3) = 4 |
| √(x + 1) – ∛(x – 3) = 2 | √(x + 2) + ∛(x – 1) = 4 | ∛(2x – 1) + √(x + 3) = 5 | √(x + 2) – ∛(2x – 1) = 1 |
| ∛(x – 2) + √(3x + 2) = 5 | ∛(x + 2) – √(x – 1) = 1 | √(x + 3) – ∛(x + 2) = 1 | √(x + 1) + ∛(x + 2) = 4 |
| ∛(x – 1) – √(x – 2) = 1 | √(x + 2) – ∛(x + 3) = 1 | ∛(x + 3) +√(x – 2) = 5 | √(x- 1) – ³√(x – 2) = 1 |
| √(x + 1) + ∛(x + 3) = 5 | ∛(x – 2) – √(x + 1) = 1 | √(x + 2) + ∛(x + 3) = 6 | ∛(2x – 1) – √(x – 3) = 1 |
¿Cómo resolver ecuaciones con radicales?
Para eliminar una raíz, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado, al cubo o a otra potencia que nos permita cancelar la raíz. Sin embargo, es importante recordar que cuando se eleva una expresión algebraica a una potencia, es posible obtener soluciones extranas, es decir, soluciones que no son soluciones válidas de la ecuación original. Por lo tanto, es importante verificar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación original.
- Un ejemplo de ecuación con radicales y cómo resolverla sería: √(x + 2) + 2 = x
Paso 1: Despejar la raíz para un lado de la ecuación: √(x + 2) = x – 2
Paso 2: Elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar la raíz: (x + 2) = (x – 2)2
Paso 3: Desarrollar y simplificar los términos: x + 2 = x2 – 4x + 4
Paso 4: Reorganizar la ecuación para que quede en la forma estándar: x2 – 5x + 2 = 0
Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática:
x = (-(-5) ± √((-5)2 – 4(1)(2)))/(2(1))
x = (5 ± √17)/2
Paso 6: Verificar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación original:
√(x + 2) + 2 = x
Para x = (5 + √17)/2:
√((5 + √17)/2 + 2) + 2 = (5 + √17)/2
√((9 + √17)/2) + 2 = (5 + √17)/2
(3 + √17)/2 + 2 = (5 + √17)/2
(7 + √17)/2 = (5 + √17)/2
Ambos lados de la ecuación son iguales, por lo que x = (5 + √17)/2 es una solución válida.
Para x = (5 – √17)/2:
√((5 – √17)/2 + 2) + 2 = (5 – √17)/2
√((9 – √17)/2) + 2 = (5 – √17)/2
(3 – √17)/2 + 2 = (5 – √17)/2
Ambos lados de la ecuación no son iguales, por lo que x = (5 – √17)/2 no es una solución válida.
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