15 Ejemplos de problemas competenciales de Matemáticas (Problemas algebraicos y ecuaciones)
¿Qué es un problema algebraico?
Un problema algebraico es una situación real o plausible que reta la comprensión conceptual, y no solamente los conocimientos de un tema tratado en la actividad de aprendizaje de matemática; exige una reestructuración en la manera de abordar la situación planteada y de los límites de los procedimientos conocidos, y busca generar conexiones sobre conocimientos variados.
Un problema no tiene condición temporal, se puede resolver rápidamente, o no conseguírsele nunca su solución”[1].
¿Cómo se resuelve un problema algebraico?
En 1944 George Pólya escribió un libro donde planteó cómo plantear y resolver problemas[2].
El esquema de resolución que proponemos es este:
- Datos del problema
- Plan para resolverlo
- Ejecución del plan
- Verificación de los resultados
- Visión retrospectiva
Ejemplos de problemas algebraicos o ecuaciones, Competenciales
- En una granja de cerdos y gallinas, el número de patas es 14 más que el doble de cabezas. ¿Cuántos cerdos hay en la granja?
- En la secuencia 0, 1, 2, 5, 26,… ¿cuál es el número que sigue?
- ¿Cuántos valores reales de x satisfacen la siguiente igualdad?
Datos del problema: el número de patas es 14 más que el doble de cabezas, es decir, P = 14 + 2C
Plan para resolverlo: hay cabezas de cerdo y de gallinas. Los cerdos tienen 4 patas y las gallinas dos. Por tanto, x = gallina y y = cerdo.
Número total de patas = 4 y + 2 x
Número total de cabezas = y + x
Relación entre patas y cabezas ⇒ P = 14 + 2C
4 y + 2 x = 14 +2(y + x)
Ejecución del plan: Resolver la ecuación 4 y + 2 x = 14 +2(y + x)
4 y + 2 x = 14 +2 y + 2 x
4 y + 2 x -2 y – 2 x = 14
2 y = 14
y = 7
Hay 7 cerdos
Verificación de los resultados: Si hay siete cerdos, cuántas gallinas debe haber para determinar la relación entre patas y cabezas.
el número de patas es 14 más
(28 + 2x) + 14
que el doble de cabezas
14 + 2x
Igualando ambas expresiones
(28 + 2x) + 14 = 14 + 2x
28 = 0
Lo cual no es correcto e impide hallar la solución deseada.
Visión retrospectiva: En este caso el número de cerdos es independiente del número de gallinas en la granja.
Esto nos plantea un problema no definido lógicamente en la realidad, aunque pueda obtenerse una solución matemática. Una ecuación indeterminada.
Uno de los nudos clave en la traducción de un problema escrito en lenguaje natural es poder escribirlo en el lenguaje simbólico propio de la matemática.
Datos del problema: tenemos la siguiente sucesión de números 0, 1, 2, 5, 26,… y nos preguntan cuál número viene después del 26
Plan para resolverlo: debemos hallar la regla de construcción de la sucesión de números para determinar el número siguiente
Ejecución del plan:
Verificación de los resultados: la sucesión se construye, en este caso, sumándole un número al número anterior.
La sucesión es 0, 1, 2, 5, 26, entonces al 0 se le suma 1, al 1 se le suma 1, al 2 hay que sumarle una cantidad numérica para que el resultado sea 5, al 5 hay que sumarle una cantidad numérica para que el resultado sea 26 y al 26 hay que sumarle una cantidad numérica para que el resultado sea 677. De esta manera obtenemos la siguiente tabla:
Si observamos la tabla anterior, en la construcción de los dos primeros números sumamos 1, podemos hallar una regla que se construya con una expresión a la que se le suma 1.
Hallamos la relación ente los números en rojo con los números en azul. Los números en azul son el cuadrado de su predecesor.
Entonces una regla de construcción de esta sucesión es:
Visión retrospectiva: en algunas sucesiones numéricas la regla de construcción no necesariamente es única, aunque matemáticamente permitan obtener el mismo resultado.
Datos del problema: una ecuación exponencial;
Plan para resolverlo: convertir las expresiones dentro de la ecuación en potencias de igual base para aplicar las leyes de la potenciación con el fin de obtener el resultado deseado
Ejecución del plan:
Por tanto, 12x + 15 = 12x + 15
entonces x puede tomar cualquier valor, de donde y en la ecuación exponencial puede tomar infinitos valores distintos.
Verificación de los resultados: al resolver la ecuación 12x + 15 = 12x + 15 vemos que
x = x
Por tanto cualquier valor que le asignemos a x en la ecuación:
nos dará como resultado el valor asignado.
Visión retrospectiva: Hemos comprobado que una ecuación puede satisfacerse con infinitos valores reales.
Ejercicios:
- Un comerciante compra una cantidad de kilos de maíz amarillo, los deja secar y luego los vende a 3,00 euros por kilogramo ganando así el 20% sobre el precio de compra. Si sabemos que el maíz amarillo al secarse pierde el 10% de su peso, ¿cuál era el precio del kilogramo de maíz amarillo cunado estaba fresco?
- Juan compró una chaqueta, una camisa y un par de zapatos por 200 euros. La chaqueta le costó 90 euros más que la camisa y la camisa y la chaqueta juntas le costaron 160 euros más que los zapatos. ¿Cuánto le costó la chaqueta?
- Si aumentamos la base de un rectángulo en 10 centímetros y su altura se disminuye en 5 cm, el área del mismo o se altera. Asimismo, el área no se modifica si se disminuye la base en 5 cm y se aumenta la altura en 4 centímetros. ¿Cuál es el área del rectángulo?
- ¿Cuál es el número que falta en la siguiente sucesión de números? 2, 3, 5, 9, X, 33
- ¿Cuál es el valor de la expresión (0, 125) ^ – 2⁄3?
- ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la expresión x² + 8x , si se asignan valores reales x?
- A una fiesta asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos, Olga con ocho, Vera con nueve y Nina bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos habían en la fiesta?
- Hace 18 años Roberto era tres veces más viejo que su hijo, pero ahora Roberto es dos veces más viejo que su hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de Roberto y su hijo?
- Si un trabajador recibe un descuento del 20% por concepto de impuesto, seguro social y caja de ahorros, él necesitaría, para percibir su sueldo original, un aumento ¿de qué porcentaje?
- Un grupo de jóvenes comparte una bolsa de caramelos. Cuando se distribuyen 7 caramelos a cada joven, quedan 10 caramelos en la bolsa, pero si a cada joven se le dan 8 caramelos quedan en la bolsa 5 caramelos en la bolsa. ¿Cuántos jóvenes eran y cuantos caramelos contenía la bolsa?
- Un señor compró un artículo y pagó con 40 billetes, distribuidos en billetes de 100 euros y 50 euros. Si el precio del artículo está comprendido entre 2 900 euros y 3 000 euros, ¿cuántos billetes de 100 y de 50 se utilizaron?
- ¿Cuántos palillos se necesitan para formar el décimo término de la sucesión?
- Un escritor escribe una novela cada dos años. Cuando publica su séptima novela, la suma de los años en las cuales fueron publicadas las mismas es 13 804. ¿En qué año publicó su primera novela?
El álgebra escolar es una parte del currículo matemático que se enseña a los ciudadanos para que comprendan las funciones, sus propiedades, las ecuaciones e inecuaciones y la posibilidad de aplicar estos conocimientos en actividades cotidianas en la vida de cualquier persona instruida.
Te sugerimos revisar este libro: https://librosparaestudiarmatematicas.wordpress.com/2016/10/16/un-desafio-a-la-juventud-ii/
Ver también
- Ejemplos de Ecuaciones de Primer Grado
- Ejemplos de Ecuaciones de Segundo Grado
- Ejemplos de Ecuaciones Fraccionarias
- Ejemplos de Funciones dadas en forma de tabla
- Ejemplos de Funciones reales de variable real
- Ejemplos de Inecuaciones
- Ejemplos de Inecuaciones en el Plano
- Ejemplos de Lenguaje Algebraico
- Ejemplos de Sistemas de Ecuaciones
- Ejemplos de Solución de Ecuaciones
Ángel Míguez Álvarez
[1] Míguez, Á. (2 003) “Caracterización de los ejemplos, ejercicios, problemas y preguntas usados en el aula, en los libros de texto y demás materiales escritos de matemática en el contexto escolar venezolano”. En: Revista Educación y Pedagogía. Medellín: Universidad de Antioquia, Facultad de Educación. Vol. XV, No. 35, (enero-abril).
[2] Polya, G. (1 969). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.